msleziak.com

$\newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}} \newcommand{\vekgam}{\vec{\gamma}} \newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle}$ Úloha 2.3.4. Nech $V$ je euklidovský vektorový priestor a $\vekalf_1, \ldots, \vekalf_n \in V$. Definujme maticu $A=||a_{ij}||$ tak, že $a_{ij}=\skal{\vekalf_i}{\vekalf_j}$...

$\newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle} \newcommand{\suma}[1]{\sum_{#1 = 1}^{n}} \newcommand{\velk}[1]{\lvert\lvert#1\rvert\rvert} \newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}}$ Úloha 1.2.9. Pre štvorcovú maticu typu $n\times n$ definujeme stopu matice ako súčet jej diagonálnych prvkov, t.j. T...

$\newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle}$ $\newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}}$ $\newcommand{\vekbet}{\vec{\beta}}$ $\newcommand{\velk}[1]{|#1|}$ Začnem najprv $\textbf{b) }\velk{\vekalf+\vekbet}^2=\velk{\vekalf}^2+\velk{\vekbet}^2+2\skal{\vekalf}{\vekbet}$ (kosínusová veta) $\textbf{...

Úloha 5.6.1. Nech $A, B \in M_{m,n}(F)$. Dokážte: Matice $A, B$ sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď existuje regulárna matica $R \in M_{m,m}(F)$ taká, že $B = RA$. $\Rightarrow$ Vieme, že je možné $B$ z $A$ dostať pomocou konečnej postupnosti elementárnych riadkových operácií. Označme $E_k,\d...

Úloha 5.3.6. $\text{Nech } f : V \rightarrow W \text{ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru } V \text{ do vektorového priestoru } W \text{ nad poľom } F. $ $\text{Dokážte: } \text{Ak } S \text{ je podpriestor vektorového priestoru } V, \text{ tak } f[S] = \{f(\vec{\alpha}) ; \vec{\alpha} \...

Úloha 5.3.5. $\text{Nech } V \text{ a } W \text{ sú vektorové priestory nad poľom } F \text{ a } f : V \rightarrow W \text{ je lineárne zobrazenie. Ak } \vec{\alpha}_1, \ldots, \vec{\alpha}_n \text{ sú lineárne závislé vektory, tak aj }$ $ f(\vec{\alpha}_1), \ldots, f(\vec{\alpha}_n) \text{ sú line...

$\textbf{Úloha 2.3.4.}$ Matematickou indukciou dokážte, že $\varphi^{n+m}=\varphi^n\circ\varphi^m$, $\varphi^{nm}=(\varphi^n)^m$ $\textbf{a.)}$ $\varphi^{n+m}=\varphi^n\circ\varphi^m$ dokážeme indukciou na $n$, pre ľubovoľné $m\geq 0$. 1.) pre $n=0$ máme $\varphi^{0+m}=\varphi^{m}$ a $\varphi^{0}\ci...

Úloha 2.2.10. Dokážte: $f\left[A\cup B\right] = f\left[A\right]\cup f\left[B\right]$, $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$. 1.) $f\left[A\cup B\right] = f\left[A\right]\cup f\left[B\right]$. Z definicíe $\textbf{2.2.19.}$ sa vlastne snažíme dokázať $\left\{f(a);a\in A\cup B\right\}= \left\{f(a)...