msleziak.com

$$(AB)^T = (||\sum \limits^n_{t=1} a_{it}b_{tj}||)^T = ||\sum \limits^n_{t=1} a_{jt}b_{ti}||$$ $$B^TA^T = ||\sum \limits^n_{t=1} (b_{it})^T(a_{tj})^T|| = ||\sum \limits^n_{t=1} b_{ti}a_{jt}|| = ||\sum \limits^n_{t=1} a_{jt}b_{ti}||$$ Čiže $(AB)^T = B^TA^T$ $\square$. JG: Čo v tej druhej časti znamen...

Predpokladajme existenciu $A^{-1}$. Potom \begin{align*} A \cdot A^{-1} &= A \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\ I &= A \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\ I^T &= (A \cdot A^{-1})^T &\Rightarrow\\ I &= (A^{-1})^T \cdot A^T \end{align*} Takže $(A^{-1})^T$ je inverzná matika z $A^T$. Takže...

Predpokladajme existenciu $A^{-1}$ a $B^{-1}$. Potom \begin{align*} A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} &= A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\ A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1} &= (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) &\Rightarrow\\ A \cdot I \cdot A^{-1} &= (AB) \cdot (B^...

Úloha: Nech $*$ je binárna operácia na množine $A$, taká, že pre každé $a, b, c \in A$ platí $a * (b * c) = (a * c) * b$ a $*$ má neutrálny prvok. Dokážte, že operácia $*$ je komutatívna a asociatívna. Najprv dokážeme, že operácia $*$ je komutatívna. Ak za $a$ zvolíme neutrálny prvok, tak dostávame...

Dôsledok 4.2.9: Nech $n \in \mathbb{N}$. Ak $S_1, S_2, \dots, S_n$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$, tak aj $\bigcap^n_{i=1} S_i$ je podpriestor priestoru V. Matematickou indukciou vzhľadom na $n$ dokážeme, že ak $S_1, S_2, \dots, S_n$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ , tak aj $\b...

Dokážte, že ak $A, B$ sú regulárne štvorcové matice rovnakých rozmerov nad tým istým poľom $F$, tak platí: a) $(A^{-1})^{-1} = A$ \begin{align*} A \cdot A^{-1} = I &\land (A^{-1})^{-1} \cdot (A^{-1}) = I &\Rightarrow \\ A \cdot A^{-1} &= (A^{-1})^{-1} \cdot (A^{-1}) &\Rightarrow \\ ...

Úloha: Dokážte a) $(AB)^T = B^TA^T$ $$(AB)^T = (||\sum^n_{t=1}a_{it}b_{tj}||)^T = ||\sum^n_{t=1}a_{ti}b_{jt}|| = ||\sum^n_{t=1}b_{jt}a_{ti}|| = B^TA^T \quad \square$$ JG: Toto nie je dobre. Uvedomme si, že zápis $A=||a_{ij}||$ hovorí, že v i-tom riadku je na j-tom mieste (stĺpci) prvok $a_{ij}$. Tj...

Úloha: Ukážte, že zobrazenie $f: V \rightarrow W$ je lineárne zobrazenie práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c \in F$ a $\vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V$ platí $f(c\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = cf(\vec{\alpha}) + f(\beta)$. Ak zobrazenie $f: V \rightarrow W$ je lineárne, tak $\forall \vec{\alpha}, \vec...