msleziak.com

8. prednáška (10.5.) Súčty štyroch štvorcov. Ukázali sme si Eulerovu identitu . Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov . (Pripomenul som aj podobnú reprezentáciu pre komplexné čísla: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=571) Dokázali sme, že každé prirodzené čísl...

K úlohe z písomky - ktorá bola tiež takéhoto typu - pridám nejaký pokec do tohto istého topicu. Pre danú maticu $A\in M_{3,3}(\mathbb R)$ nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$; alebo zdôvodnite, že také matice neexistujú. $$A= \begin{pmatrix} 3 & 4 &a...

Pre daný podpriestor $S$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite ortonormálnu bázu. (Pracujeme so štandardným skalárnym súčinom na $\mathbb R^4$.) $$S=[(1,1,1,1),(2,1,1,2),(3,0,1,1),(3,-1,0,1)]$$ $\newcommand{\skal}[2]{\langle{\vec{#1}},{\vec{#2}}\rangle}\newcommand{\skl}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}$ Nejak...

Úlohy z du05 aj du06 majú samostatné topicy:
viewtopic.php?t=2067
viewtopic.php?t=2068
viewtopic.php?t=2070
viewtopic.php?t=2071

Ktoré z nasledujúcich grafov sú rovinné? Zdôvodnite! https://msleziak.com/img2/9311.png Môžeme si všimnúť, že v prvom aj treťom grafe mám $v=8$ a $h=12$, čiže $h=2v-4$. Súčasne tam nie je žiadna kružnica dĺžky $3$. Keďže sa nadobúda rovnosť, pri akomkoľvek rovinnom nakreslení musí byť každá stena o...

12. týždeň Príklady z 06farb.pdf . Štvrtok (9.5.): Rozmysleli sme si dôkaz charakterizácie grafov, ktoré majú uzavretý eulerovský ťah . Pozreli sme sa na úlohu 10 - ak graf má aspoň $\binom{n-1}2+1$ hrán, tak má hamiltonovskú kružnicu. Pridám k tejto úlohe aj nejaké linky: https://math.stackexchang...

11. prednáška (2.5.): Fibonacciho čísla. Trochu sme sa rozprávali o Fibonacciho číslach . Povedali sme si definíciu a to, že ich vieme ľahko rozšíriť aj na záporné indexy. Pripomenuli sme Binetovu formulu $$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}$$ a to, že sa dá o...

11. prednáška (6.5.): Ireducibilné prvky a jednoznačnosť rozkladu. Definovali sme ireducibilný prvok v obore integrity. V $\mathbb Z$ sú ireducibilné presne prvky tvaru $\pm p$, kde $p$ je prvočíslo. V okruhu $F[x]$ takto dostaneme definíciu ireducibilného polynómu . Pre ireducibilné prvky v $\math...

7. prednáška (3.5.) Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel . Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v ...

Dokážte, že ak graf na $n$ vrcholoch má aspoň $\binom{n-1}2+1$ hrán, tak je súvislý. Ukážte na príklade, že $\binom{n-1}2$ hrán nestačí. Sporom. Predpokladajme, že graf by bol nesúvislý. Potom obsahuje aspoň 2 komponenty súvislosti, čiže vrcholy môžeme rozdeliť na 2 neprázdne časti, ktoré nespája ž...