msleziak.com

12. týždeň Príklady z 06farb.pdf . Štvrtok (9.5.): Rozmysleli sme si dôkaz charakterizácie grafov, ktoré majú uzavretý eulerovský ťah . Pozreli sme sa na úlohu 10 - ak graf má aspoň $\binom{n-1}2+1$ hrán, tak má hamiltonovskú kružnicu. Pridám k tejto úlohe aj nejaké linky: https://math.stackexchang...

11. prednáška (2.5.): Fibonacciho čísla. Trochu sme sa rozprávali o Fibonacciho číslach . Povedali sme si definíciu a to, že ich vieme ľahko rozšíriť aj na záporné indexy. Pripomenuli sme Binetovu formulu $$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi}=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}$$ a to, že sa dá o...

11. prednáška (6.5.): Ireducibilné prvky a jednoznačnosť rozkladu. Definovali sme ireducibilný prvok v obore integrity. V $\mathbb Z$ sú ireducibilné presne prvky tvaru $\pm p$, kde $p$ je prvočíslo. V okruhu $F[x]$ takto dostaneme definíciu ireducibilného polynómu . Pre ireducibilné prvky v $\math...

7. prednáška (3.5.) Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel . Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov. Pri tom sme využili, popis ireducibilných prvkov v ...

Dokážte, že ak graf na $n$ vrcholoch má aspoň $\binom{n-1}2+1$ hrán, tak je súvislý. Ukážte na príklade, že $\binom{n-1}2$ hrán nestačí. Sporom. Predpokladajme, že graf by bol nesúvislý. Potom obsahuje aspoň 2 komponenty súvislosti, čiže vrcholy môžeme rozdeliť na 2 neprázdne časti, ktoré nespája ž...

10. prednáška (2.5.): Hamiltonovské grafy. Definícia hamiltonovskej cesty a hamiltonovskej kružnice. Nutné podmienky: $c(G\setminus S)\le|S|$. Pre párne grafy musia byť obe časti grafu rovnako veľké, aby sme dostali hamiltonovský graf. Postačujúce podmienky: Ukázali sme Bondy-Chvátalovu vetu , z kt...

9. prednáška (2.5.): Farbenie grafov. Zadefinovali sme $k$-farbiteľný graf a chromatické číslo grafu. Pozreli sme sa na bipartitné (práne) grafy a ukázali sme si charakterizáciu, ktorá hovorí, že sú to presne tie grafy, ktoré neobsahujú kružnicu nepárnej dĺžky. Dokázali sme vetu o piatich farbách :...

10. prednáška (29.4.): Veta o delení so zvyškom. Zopakoval som vetu o delení so zvyškom v okruhu $F[x]$, t.j. pre polynómy nad poľom. Dokázali sme jednoznačnosť v tejto vete. (Existenciu sme dokázali už minule.) Porovnali sme ju na vetu o delení so zvyškom pre okruh $\mathbb Z$. (Viacero vecí, ktor...

Na hodine padla otázka, či sa každý planárny graf dá nakresliť tak, že použijeme iba úsečky. (T.j. spojnice medzi ľubovoľnými dvoma vrcholmi budú rovné.) Nevedel som na to hneď odpovedať - ale odpoveď je, že áno. Pridám sem aspoň linky na relevantné články z Wikipédie: Planar straight-line graph a F...

Koľko je prirodzených čísel $n\le1000$, ktoré sú deliteľné dvojkou, trojkou alebo päťkou? Výsledok vyjadrite aj ako konkrétne číslo. Riešenie takejto úlohy sa dá nájsť napríklad aj tu: https://math.stackexchange.com/q/2299588 Bude tam $734$ deliteľných niektorým z týchto čísel a $266$, ktoré nie sú...