msleziak.com

6. prednáška (28.3.)$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$ Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu. Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná. V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa pozr...

5. prednáška (21.3): Rozklad grupy podľa podgrupy - pokračovanie Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu, počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická, štvorprvkové grupy sú až ...

4. prednáška (14.3): Parita permutácie , inverzie permutácie, transpozícia, súvis počtu inverziíí a rozkladu permutácie na transpozície. Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k niektorým z tých vlastností.) Zadefinovali sme ľ...

3. prednáška (7. 3. 2024): Cyklické grupy. Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$. Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$. Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Z týchto dvoch výsledkov som rob...

2. prednáška (29. 2. 2024): Homomorfizmy grúp. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si pár príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)...

Text ku prednáške sa dá nájsť na linke https://msleziak.com/vyuka/2023/algtext/alginf.pdf. V tomto texte sú aj cvičenia. Predmetu Algebra 3 sa týka časť od strany 222, niektoré veci sme už preberali v rámci predmetu Algebra 2, tie potom len rýchlo zopakujeme, prípadne úplne vynecháme (ak sa priamo n...

1. prednáška (22. 2. 2024): Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra, "nová" - bez dôkazu - bola ekvivalentná definícia pomocou "jednostranného" neutrálneho prvku a "jednostranného" (z "rovnakej" strany ) inverzného prvku. Podgrupy. ...

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.) Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte ...

Ako som vám hovoril na cvičeniach, ak máte záujem, môžete si opraviť jednu z písomiek. Opravná písomka bude 5. januára (aj to som hovoril, že bude buď 4. alebo 5., ale 4. je termin skúšky z Algebry) o 10.00 v posluchárni B. Pre tieto písomky som na 5. 1. v AISe vytvoril termíny ako termíny pre prieb...