msleziak.com

12. prednáška (16. 5.): Dôkaz vety o tom, že konečné rozšírenie $L$ konečného rozšírenia $K$ poľa $F$ je konečné rozšírenie poľa $F$ a pre stupne rozšírení platí vzťah $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$. Ukázali sme si nejaké jednoduché úvahy, ako sa dá tento fakt využiť. Definovali sme 1) algebraické rozšíre...

11. prednáška (9. 5.): Rozšírenia polí. Definícia. Konečné rozšírenia poľa $F$, stupeň konečného rozšírenia poľa $K$ - označené ako $[K:F]$ - len pre konečné rozšírenie, samozrejme. Algebraické a transcendentné prvky nad poľom $F$. Každý prvok konečného rozšírenia $K$ poľa $F$ je algebraický nad $F...

10. prednáška (2. 5.): Charakteristika okruhu a poľa, prienik podokruhov je podokruh, podokruhy generované jednotkou ($[1]$). Dokázali sme: Ak má okruh jednotku 1, charakteristika $R$ je rád prvku $1$ v grupe $(R,+)$, charakteristika oboru integrity (t.j. aj poľa) je buď prvočíslo (toto napr. platí...

9. prednáška (25.4.): Prienik ideálov daného okruhu je ideál. Ideál generovaný dvoma prvkami ($a, b$) v komutatívnom okruhu s jednotkou $R$ je množina v tvare $\{sa+bt, s,t\in R\}$, t.j. je to množina všetkých "lineárnych kombinácií" prvkov $a, b$ s koeficientami z $R$. Platí to aj všeobe...

8. prednáška (11.4.): Definovali sme pojem maximálneho ideálu okruhu $R$. Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí (dokázali sme vetu): $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál. (Ako dôsledok tejto a poslednej vety z minulej prednášky dostaneme: V komutatívnom okruhu s jednotkou ...

7. prednáška (4. 4. 2024): Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov. Opäť pridám linku na maticovú interpretáciu komplexných čísel - to bol pre nás jeden z príkladov izomorfizmu: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=571 Ideály. Definícia ideálu. Jadro hom...

6. prednáška (28.3.):$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$ Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu. Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná. V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa poz...

5. prednáška (21.3): Rozklad grupy podľa podgrupy - pokračovanie Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu, počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická, štvorprvkové grupy sú až ...

4. prednáška (14.3): Parita permutácie , inverzie permutácie, transpozícia, súvis počtu inverziíí a rozkladu permutácie na transpozície. Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k niektorým z tých vlastností.) Zadefinovali sme ľ...

3. prednáška (7. 3. 2024): Cyklické grupy. Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$. Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$. Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Z týchto dvoch výsledkov som rob...