Prednášky LS 2015/16

[Martin Sleziak]

1. prednáška (19.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základne vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu. (Aj keď ten som iba naznačil.)

V súvislosti s tým, že sme používali limes superior, padla otázka, prečo má každá ohraničená podmnožina $\mathbb R$ suprémum. Dám sem linku na Wikipédiu. A určite sa o tom dá niečo zmysluplné dá nájsť aj inde, či už na internete alebo v knihách.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (25.2.):
Asymptotická hustota. Základné nerovnosti týkajúce sa dolnej a hornej hustoty, konečná aditívnosť. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (3.3)
Asymptotická hustota. Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Ukázali sme nejaké dôsledky vety z minula - konkrétne to, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu 0. Takisto množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?f=39&t=856
(Nerobil som lemu 5.1.16 a tvrdenie 5.1.17, kde je ukázaný podobný výsledok pre obor hodnôt funkcie $\sigma$. Keďže som ju neprednášal, nebudem ju ani skúšať.)
Schnireľmannova hustota. Definícia, základné vlastnosti, dolný odhad pre $\sigma(A+B)$.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (10.3)
Schnireľmannova hustota. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou. Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre intergrál/deriváciu nájdete tu.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (17.3.)
Štatistická konvergencia. Definícia. Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov. Abel-Pringsheim-Olivierova veta a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu.
Ukázali sme aj to, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. Dôkaz tejto vety nie je v poznámkach - ak by si ho niekto chcel pozrieť; tak sa dá nájsť napríklad tu: http://dml.cz/dmlcz/136236

[Martin Sleziak]

24.3. prednáška odpadla - dekanské voľno

6. prednáška (31.3.):
Veľmi stručne sme spomenuli lineárne diofantické rovnica a pytagorovské trojice.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovnice $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach metódou nekonečnej regresie.
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Zatiaľ som stihol zadefinovať pár základných pojmov: Euklidovský okruh, delitele jednotky, asociované prvky, deliteľnosť.

[Martin Sleziak]

7.4. prednáška nebola.

7. prednáška (14.4.):
Euklidovské okruhy. Povedali sme si niečo o deliteľnosti v okruhoch a ako súvisí s hlavnými ideálmi. Ukázali sme, že každý euklidovský okruh je okruh hlavných ideálov. Pre okruhy hlavných ideálov sme dokázali existenciu rozkladu. (Nedokazovali sme jednoznačnosť.)
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (21.4.):
Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$.

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)

Podobne okruh $\mathbb Z[ i ]$ sa dá použiť na nájdenie všetkých riešení rovnice $x^2+y^2=z^2$. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations.

(Obe spomínané knihy môžem v prípade záujmu poskytnúť.)

[Martin Sleziak]

9. prednáška (28.4.)
Dokončili sme ešte dôkaz z minula o riešeniach rovnice $x^3+y^3=z^3$.
Súčty dvoch štvorcov. Charakterizovali sme čísla, ktoré sa dajú napísať ako súčet dvoch druhých mocnín celých čísel.
V súvislosti s týmto dôkazom sme sa rozprávali aj o maticovej reprezentácii komplexných čísel: viewtopic.php?t=571
Ukázali sme si aj charakterizáciu ireducibilných prvkov v okruhu $\mathbb Z [ i ]$, t.j. gaussovských prvočísel.

[Martin Sleziak]

10. prednáška (5.5.)
Počet rozkladov na súčet dvoch štvorcov. Ukázali sme si, koľko je rozkladov daného čísla na súčet 2 štvorcov.
Súčty štyroch štvorcov. Začali sme sa zaoberať číslami, ktoré sa dajú napísať ako súčty štyroch štvorcov. Zatiaľ sme si ukázali, že táto množina je uzavretá na súčiny. Pri tom sme si povedali niečo o maticovej reprezentácii kvaterniónov. Niečo (aj keď málo) o nej je aj tu: viewtopic.php?t=571
Ešte sme stihli ukázať, že pre každé prvočíslo $p$ má kongruencia $x^2+y^2+1 \equiv 0 \pmod p$ riešenie.