V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Prednášky ZS 2012/13
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
1. prednáška (17.9.)
Zobrazenia. Definícia karteziánskeho súčtu a definícia zobrazenia. Definícia skladania zobrazení, skladanie zobrazení je asociatívne. Definícia injekcie, surjekcie, bijekcie. Zloženie injekcií/surjekcií/bijekcií. Inverzné zobrazenie - definícia, inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve, keď $f$ je bijekcia, platí $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$.
T.j. prešli sme časť v texte označenú ako 2.2.2. (Resp. na slajdoch 02zobrazenia.pdf sme skončili tesne pred časťou venovanou permutáciám.
Dohodli sme sa, že pre študentov prírodovedeckej fakulty (ktorí mali dnes voľno) budú tieto témy odprednášané na cvičení.
Zobrazenia. Definícia karteziánskeho súčtu a definícia zobrazenia. Definícia skladania zobrazení, skladanie zobrazení je asociatívne. Definícia injekcie, surjekcie, bijekcie. Zloženie injekcií/surjekcií/bijekcií. Inverzné zobrazenie - definícia, inverzné zobrazenie k $f$ existuje práve, keď $f$ je bijekcia, platí $(f^{-1})^{-1}=f$ a $(g\circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$.
T.j. prešli sme časť v texte označenú ako 2.2.2. (Resp. na slajdoch 02zobrazenia.pdf sme skončili tesne pred časťou venovanou permutáciám.
Dohodli sme sa, že pre študentov prírodovedeckej fakulty (ktorí mali dnes voľno) budú tieto témy odprednášané na cvičení.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
2. prednáška (24.9.)
Permutácie. Definícia, ako ich zapisujeme, skladáme a ako nájdeme inverznú permutáciu.
Binárne operácie. Definícia, neutrálny prvok, komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok.
Grupy. Definícia, zákony o krátení, $(a^{-1})^{-1}=a$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. Aditívny a multiplikatívny zápis grupovej operácie, neutrálneho prvku, inverzného prvku.
V texte sme preskočili: Ako pre danú permutáciu $\varphi$ nájsť $\varphi^n$ (príklad 2.3.2), overenie, že všetky možné uzátvorkovania štyroch prvkov dajú rovnaký výsledok, ak binárna operácia je asociatívna (príklad 3.1.12). Môžete sa na tieto veci skúsiť pozrieť samostatne, niečo z toho pravdepodobne bude aj na cvičeniach.
Permutácie. Definícia, ako ich zapisujeme, skladáme a ako nájdeme inverznú permutáciu.
Binárne operácie. Definícia, neutrálny prvok, komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok.
Grupy. Definícia, zákony o krátení, $(a^{-1})^{-1}=a$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. Aditívny a multiplikatívny zápis grupovej operácie, neutrálneho prvku, inverzného prvku.
V texte sme preskočili: Ako pre danú permutáciu $\varphi$ nájsť $\varphi^n$ (príklad 2.3.2), overenie, že všetky možné uzátvorkovania štyroch prvkov dajú rovnaký výsledok, ak binárna operácia je asociatívna (príklad 3.1.12). Môžete sa na tieto veci skúsiť pozrieť samostatne, niečo z toho pravdepodobne bude aj na cvičeniach.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
3. prednáška (1.10.)
Polia. Definícia, základné príklady, základné vlastnosti polí. Ak $p$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_p,\oplus,\odot)$ je pole.
(Nezaoberali sme sa tým, že ak $n$ je zložené, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ nie je pole - príklady 3.3.9 a 3.3.10 v texte. Môžete sa skúsiť zamyslieť nad tým, prečo je to tak. Takisto sme preskočili aj príklad 3.3.13 z textu.)
Vektorové priestory. Definícia. Základné príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$ a $F^n$, $\mathbb R^{\mathbb R}$ a $F^M$.
Polia. Definícia, základné príklady, základné vlastnosti polí. Ak $p$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_p,\oplus,\odot)$ je pole.
(Nezaoberali sme sa tým, že ak $n$ je zložené, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ nie je pole - príklady 3.3.9 a 3.3.10 v texte. Môžete sa skúsiť zamyslieť nad tým, prečo je to tak. Takisto sme preskočili aj príklad 3.3.13 z textu.)
Vektorové priestory. Definícia. Základné príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$ a $F^n$, $\mathbb R^{\mathbb R}$ a $F^M$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
4. prednáška (8.10.)
Vektorové priestory. Znovu sme pripomenuli definíciu a povedali sme si niektoré základné vlastnosti sčitovania a násobenia vo vektorových priestoroch.
Podpriestory. Definícia a príklady. Prienik podpriestorov je podpriestor. (Preskočili sme zdôvodnenie, že podpriestor je opäť vektorový priestor - poznámka 4.2.6; niečo podobné budete vidieť na cvičeniach pri poliach.) Kritérium vektorového podpriestoru, prienik podpriestorov je podpriestor. (Tu sme strávili nejaký čas tým, že sme sa venovali tomu, čo je prienik systému množín.)
Lineárna kombinácia a lineárny obal. Definície, dôkaz, že lineárny obal je naozaj podpriestor a že je to najmenší podpriestor obsahujúci dané vektory.
Vektorové priestory. Znovu sme pripomenuli definíciu a povedali sme si niektoré základné vlastnosti sčitovania a násobenia vo vektorových priestoroch.
Podpriestory. Definícia a príklady. Prienik podpriestorov je podpriestor. (Preskočili sme zdôvodnenie, že podpriestor je opäť vektorový priestor - poznámka 4.2.6; niečo podobné budete vidieť na cvičeniach pri poliach.) Kritérium vektorového podpriestoru, prienik podpriestorov je podpriestor. (Tu sme strávili nejaký čas tým, že sme sa venovali tomu, čo je prienik systému množín.)
Lineárna kombinácia a lineárny obal. Definície, dôkaz, že lineárny obal je naozaj podpriestor a že je to najmenší podpriestor obsahujúci dané vektory.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
5.prednáška (15.10.)
Lineárna kombinácia a lineárny obal. Pridanie/odobratie vektora, ktorý je lineárnou kombináciou, nezmení lineárny obal.
Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť. Definícia. (V súvislosti s dvoma ekvivalentnými definíciami lineárnej nezávislosti, sme si pripomenuli ako sa negujú výroky s kvantifikátormi.) Vektory sú závislé ak je jeden z nich kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru a bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov. V konečnorozmernom priestore sa každá konečná množina lineárne nezávislých vektorov dá doplniť na bázu.
Lineárna kombinácia a lineárny obal. Pridanie/odobratie vektora, ktorý je lineárnou kombináciou, nezmení lineárny obal.
Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť. Definícia. (V súvislosti s dvoma ekvivalentnými definíciami lineárnej nezávislosti, sme si pripomenuli ako sa negujú výroky s kvantifikátormi.) Vektory sú závislé ak je jeden z nich kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru a bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov. V konečnorozmernom priestore sa každá konečná množina lineárne nezávislých vektorov dá doplniť na bázu.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
6. prednáška (22.10)
Báza a dimenzia: Definícia dimenzie. Dimenzia je horné ohraničenie pre počet lineárne nezávislých vektorov. Ak máme $n$ vektorov, kde $n=d(V)$, tak na overenie či tvoria bázu stačí skontrolovať, či sú nezávislé alebo či generujú celý priestor. (Netreba overovať obe podmienky.) Konečná množina vektorov tvorí bázu práve vtedy, keď každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Preskočili sme dôkaz, že priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ nie je konečnorozmerný - asi vám stačí vedieť to, že existujú aj priestory, ktoré sú nekonečnorozmené. (My sa budeme venovať hlavne konečnorozmerným.) Takisto som preskočil to, že pre podpriestor $S$ konečnorozmerného priestoru $V$ platí $d(S)\le d(V)$ a ak nastane rovnosť, tak sa tieto priestory musia rovnať. (Možno to bude na cvičení, resp. môžete to brať ako nepovinnú d.ú.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Túto časť sme preskočili celú - máte si ju naštudovať samostatne. (T.j. skúšať sa bude ako keby bola odprednášaná.
Matice. Definícia matice, súčtu matíc, násobenia matice skalárom. Matice typu $m\times n$ nad poľom $F$ tvoria vektorový priestor nad $F$. Jednotková, štvorcová, diagonálna matica. Preskočili sme definíciu transponovanej matice. (Bude neskôr - na prednáške alebo na cviku - keď ju budeme potrebovať.)
Elementárne riadkové operácie Zadefinovali sme: podpriestor prislúchajúci matici, elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu. Ukázali sme, že elementárne riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Ako posledné sme stihli definíciu redukovanej trojuholníkovej matice.
Báza a dimenzia: Definícia dimenzie. Dimenzia je horné ohraničenie pre počet lineárne nezávislých vektorov. Ak máme $n$ vektorov, kde $n=d(V)$, tak na overenie či tvoria bázu stačí skontrolovať, či sú nezávislé alebo či generujú celý priestor. (Netreba overovať obe podmienky.) Konečná množina vektorov tvorí bázu práve vtedy, keď každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Preskočili sme dôkaz, že priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ nie je konečnorozmerný - asi vám stačí vedieť to, že existujú aj priestory, ktoré sú nekonečnorozmené. (My sa budeme venovať hlavne konečnorozmerným.) Takisto som preskočil to, že pre podpriestor $S$ konečnorozmerného priestoru $V$ platí $d(S)\le d(V)$ a ak nastane rovnosť, tak sa tieto priestory musia rovnať. (Možno to bude na cvičení, resp. môžete to brať ako nepovinnú d.ú.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Túto časť sme preskočili celú - máte si ju naštudovať samostatne. (T.j. skúšať sa bude ako keby bola odprednášaná.
Matice. Definícia matice, súčtu matíc, násobenia matice skalárom. Matice typu $m\times n$ nad poľom $F$ tvoria vektorový priestor nad $F$. Jednotková, štvorcová, diagonálna matica. Preskočili sme definíciu transponovanej matice. (Bude neskôr - na prednáške alebo na cviku - keď ju budeme potrebovať.)
Elementárne riadkové operácie Zadefinovali sme: podpriestor prislúchajúci matici, elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu. Ukázali sme, že elementárne riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Ako posledné sme stihli definíciu redukovanej trojuholníkovej matice.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
6. prednáška (29.10)
Riadková ekvivalencia a hodnosť. Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou redukovanou trojuholníkovou maticou. Nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé. Definícia hodnosti. Matice $A$ a $B$ sú riadkovo ekvivalentné $\Leftrightarrow$ $V_A=V_B$ $\Leftrightarrow$ obe sú ekvivalentné s tou istou riadkovou trojuholníkovou maticou.
Na konci prednášky sme si ešte povedali o tom, ako sa dá pri úprave na redukovanú trojuholníkovú maticu urobiť aspoň čiastočná skúška správnosti a ako sa dá nájsť, kde sme spravili chybu, ak skúška správnosti nevyjde. (V aktuálnej verzii textu je to poznámka 5.2.18.)
Riadková ekvivalencia a hodnosť. Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou redukovanou trojuholníkovou maticou. Nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé. Definícia hodnosti. Matice $A$ a $B$ sú riadkovo ekvivalentné $\Leftrightarrow$ $V_A=V_B$ $\Leftrightarrow$ obe sú ekvivalentné s tou istou riadkovou trojuholníkovou maticou.
Na konci prednášky sme si ešte povedali o tom, ako sa dá pri úprave na redukovanú trojuholníkovú maticu urobiť aspoň čiastočná skúška správnosti a ako sa dá nájsť, kde sme spravili chybu, ak skúška správnosti nevyjde. (V aktuálnej verzii textu je to poznámka 5.2.18.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
7. prednáška (5.11.)
Lineárne zobrazenia: Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky, $f(\vec0)=\vec0$, základná veta o lineárnych zobrazeniach (stačí určiť obrazy prvkov bázy). Matica lineárneho zobrazenia. (V poznámkach je vyriešený aj nejaký príklad na hľadanie matice lineárneho zobrazenia - to sme na prednáške nerobili.)
Súčin matíc. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne. Matica zloženého zobrazenia. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním zobrazení. Základné vlastnosti súčinu matíc.
Inverzná matica. Zopakovali sme, čo je inverzné zobrazenie a že existuje iba pre bijekcie. Ukázali sme, že ak $f\colon V\to W$ je lineárne a existuje k nemu inverzné zobrazenie $f^{-1}$, tak aj $f^{-1} \colon W \to V$ musí byť lineárne.
Lineárne zobrazenia: Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky, $f(\vec0)=\vec0$, základná veta o lineárnych zobrazeniach (stačí určiť obrazy prvkov bázy). Matica lineárneho zobrazenia. (V poznámkach je vyriešený aj nejaký príklad na hľadanie matice lineárneho zobrazenia - to sme na prednáške nerobili.)
Súčin matíc. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne. Matica zloženého zobrazenia. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním zobrazení. Základné vlastnosti súčinu matíc.
Inverzná matica. Zopakovali sme, čo je inverzné zobrazenie a že existuje iba pre bijekcie. Ukázali sme, že ak $f\colon V\to W$ je lineárne a existuje k nemu inverzné zobrazenie $f^{-1}$, tak aj $f^{-1} \colon W \to V$ musí byť lineárne.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5683
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2011/12
8.prednáška (12.11)
Inverzná matica: Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie z konečnorozmerného vektorového priestoru injektívne, surjektívne, bijektívne. Pre prípad lineárneho zobrazenia z $F^n$ do $F^n$ sú tieto 3 podmienky ekvivalentné.
Definícia inverznej matice, je to presne matica inverzného zobrazenia. Matica má inverznú práve vtedy, keď je regulárna. Bez dôkazu sme spomenuli, že pre štvorcové matice z $AB=I$ už vyplýva $BA=I$.
Definícia izomorfizmu. Ak $d(V)=n$, tak $V$ je izomorfný s $F^n$.
(Na prednáške sme sa nevenovali tomu, ako sa inverzná matica dá vypočítať - to bude na cvičení.)
Časť o súvise elementárnych riadkových operácií a súčinu matíc sme preskočili. (Nebude sa ani skúšať.) Môže sa vám aj tak oplatiť nazrieť do tejto časti poznámok - ak si ju prečítate, môže vám to pomôcť pri pochopení niektorých ďalších vecí.
Sústavy lineárnych rovníc: Základné definície (matica sústavy, rozšírená matica sústavy, maticový zápis sústavy lineárnych rovníc). Elementárne riadkové operácie na rozšírenej matici nemenia množinu riešení (a teda ak dve sústavy majú riadkovo ekvivalentné rozšírené matice, tak majú rovnakú množinu riešení.)
Homogénne sústavy lineárnych rovníc: Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor $F^n$. Dimenzia podpriestoru riešení je $n-h(A)$. (Pri odvodení sme predpokladali, že redukovaný trojuholníkový tvar matice sústavy má vedúce jednotky v prvých $r$ stĺpcoch. Nabudúce sa ešte vrátime na chvíľu k tomu, či sme tým nič neovplyvnili, t.j. či veci ktoré sme dokázali skutočne platia aj bez tohoto predpokladu.)
Inverzná matica: Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie z konečnorozmerného vektorového priestoru injektívne, surjektívne, bijektívne. Pre prípad lineárneho zobrazenia z $F^n$ do $F^n$ sú tieto 3 podmienky ekvivalentné.
Definícia inverznej matice, je to presne matica inverzného zobrazenia. Matica má inverznú práve vtedy, keď je regulárna. Bez dôkazu sme spomenuli, že pre štvorcové matice z $AB=I$ už vyplýva $BA=I$.
Definícia izomorfizmu. Ak $d(V)=n$, tak $V$ je izomorfný s $F^n$.
(Na prednáške sme sa nevenovali tomu, ako sa inverzná matica dá vypočítať - to bude na cvičení.)
Časť o súvise elementárnych riadkových operácií a súčinu matíc sme preskočili. (Nebude sa ani skúšať.) Môže sa vám aj tak oplatiť nazrieť do tejto časti poznámok - ak si ju prečítate, môže vám to pomôcť pri pochopení niektorých ďalších vecí.
Sústavy lineárnych rovníc: Základné definície (matica sústavy, rozšírená matica sústavy, maticový zápis sústavy lineárnych rovníc). Elementárne riadkové operácie na rozšírenej matici nemenia množinu riešení (a teda ak dve sústavy majú riadkovo ekvivalentné rozšírené matice, tak majú rovnakú množinu riešení.)
Homogénne sústavy lineárnych rovníc: Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor $F^n$. Dimenzia podpriestoru riešení je $n-h(A)$. (Pri odvodení sme predpokladali, že redukovaný trojuholníkový tvar matice sústavy má vedúce jednotky v prvých $r$ stĺpcoch. Nabudúce sa ešte vrátime na chvíľu k tomu, či sme tým nič neovplyvnili, t.j. či veci ktoré sme dokázali skutočne platia aj bez tohoto predpokladu.)