Transformácia krivky na kanonický tvar

[Martin Sleziak]

Aký typ krivky predstavuje daná rovnica? Nájdite afinnú transformáciu, ktorou túto krivku môžeme previesť na kanonický tvar. Aký má táto krivka stred, osi?

$7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218=0$

Nájdime najprv typ krivky.

Máme $$\delta= \begin{vmatrix} 7 & 8 \\ 8 &-23 \end{vmatrix}= -161-64=-225<0$$
teda pôjde o krivku hyperbolického typu.

Ak by sme skontrolovali, že
$$\begin{vmatrix} 7 & 8 &-7 \\ 8 &-23&-8 \\ -7 &-8 &-218 \end{vmatrix}\ne0$$
tak nejde o degenerovaný prípad a bude to hyperbola, nie dvojica priamok.

Vypočítať tento determinant je pomerne ľahké (a vlastne nás nezaujíma presná hodnota, iba to či je nenulový; t.j. či je táto matica regulárna).

Spoiler:

$\begin{vmatrix} 7 & 8 &-7 \\ 8 &-23&-8 \\ -7 &-8 &-218 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 8 &-7 \\ 8 &-23&-8 \\ 0 & 0 &-225 \end{vmatrix}=-225\delta \ne 0$

Teraz by sme ešte chceli nájsť transformáciu premenných (zloženú z otočenia a posunutia), ktorá prevedie túto krivku na kanonický tvar. Môžeme to vyskúšať v oboch poradiach - buď budeme najprv otáčať alebo najprv posúvať.

[Martin Sleziak]

Najprv posununie, potom otočenie

Ak chceme začať posunutím, potrebujeme zistiť súradnice stredu. Na cviku sme sa naučili (môžete sa pozrieť aj sem), že stred nájdeme riešením sústavy rovníc
$$\begin{align*} 7x_1 + 8x_2 -7 &=0\\ 8x_1 -23x_2 -8 &=0 \end{align*}$$
ktorá má jediné riešenie $x_1=1$, $x_2=0$.

Teda posunutie je určené predpisom
$$\begin{align*} x_1&=y_1+1\\ x_2&=y_2 \end{align*}$$
Opačným smerom máme transformáciu
$$\begin{align*} y_1&=x_1-1\\ y_2&=x_2 \end{align*}$$

Po dosadení dostaneme
$$\begin{multline*} 7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218 =\\= 7(y_1+1)^2+16(y_1+1)y_2-23y_2^2-14(y_1+1)-16y_2-218 =\\= 7(y_1^2+2y_1+1)+16(y_1+1)y_2-23y_2^2-14(y_1+1)-16y_2-218 =\\= 7y_1^2 + 16 y_1y_2 -23 y_2^2 +7-14-218 = 7y_1^2 + 16 y_1y_2 -23 y_2^2 - 225 \end{multline*}$$
Môžeme si všimnúť, že kvadratická časť sa nezmenila, lineárne členy vypadli a absolútny člen je presne hodnota $7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218$ po dosadení stredu $x_1=1$, $x_2=0$. (Takto to musí vyjsť vždy, ak sme sa nepomýlili pri výpočte stredu.)

Teraz ešte potrebujeme nájsť vhodné otočenie. Na to nájdeme vlastné čísla a vlastné vektory matice $A= \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 8 &-23 \end{pmatrix}$.
Máme $\chi_A(x)=(x-7)(x+23)-64=x^2+16x-225=(x+25)(x-9)$.
Vlastné čísla sú teda $9$ a $-25$.
Vlastné vektory k $9$ sú násobky vektora $(4, 1)$, veľkosť 1 má vlastný vektor $\frac1{\sqrt{17}}(4,1)$.
Vlastné vektory k $-25$ sú násobky vektora $(1,-4)$, po vynormovaní máme vektor $\frac1{\sqrt{17}}(1,-4)$.

Tým sme zistili, že pre ortogonálnu maticu $P=\frac1{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 &-4 \end{pmatrix}$ platí $PAP^T=D=\operatorname{diag}(9,-25)$.

(Drobná poznámka: Matica $P$ má záporný determinant, teda v skutočnosti neurčuje otočenie, ale zloženie otočenia a osovej symetrie. Pre účely tejto úlohy to je však rovnako dobrá transformácia; pretože ide o symetriu podľa niektorej z osí hyperboly. Ak chcete použiť naozaj otočenie, môžete jeden z vlastných vektorov nahradiť opačným, teda by ste napríklad pracovali s maticou $P=\frac1{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$.)

To znamená, že transformácia premenných $\vec y=\vec zP$ resp. $\vec z=\vec yP^T$ prevedie našu kvadratickú formu na diagonálny tvar $9z_1^2-25z_2^2+225=0$.

Ak chceme, môžeme to skontrolovať tak, že naozaj dosadíme
$$\begin{align*} y_1&=\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}\\ y_2&=\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}} \end{align*}$$
do našej kvadratickej formy. (Ale ak sme sa nepomýlili pri výpočte vlastných vektorov a odvodení ortogonálnej matice a substitúcie, ktorá jej zodpovedá, tak vieme, že to vyjde takto.)

Spoiler:

$$\begin{multline*} 7y_1^2 + 16 y_1y_2 -23 y_2^2 - 225 =\\= 7\left(\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}\right)^2 + 16\cdot\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}\cdot\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}}- 23 \left(\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}}\right)^2 - 225 =\\= \frac{7(4z_1+z_2)^2}{17} + \frac{16(4z_1+z_2)(z_1-4z_2)}{17} - \frac{23(z_1-4z_2)^2}{17} - 225 =\\= \frac{7(16z_1^2+8z_1z_2+z_2^2)}{17} + \frac{16(4z_1^2-15z_1z_2-4z_2^2)}{17} - \frac{23(z_1^2-8z_1z_2+16z_2)}{17} - 225 =\\= \frac{(7\cdot16+4\cdot16-23)z_1^2 + (7\cdot 8 -16\cdot 15 -23\cdot 8)z_1z_2 + (7-16\cdot4-23\cdot16)z_2^2}{17} - 225 =\\= \frac{153z_1^2-425y_2^2}{17} -225 = 9z_1^2-25z_2^2 -225 \end{multline*}$$

Transformácia premenných opačným smerom je
$$\begin{align*} z_1&=\frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}}=\frac{4x_1+x_2-4}{\sqrt{17}}\\ z_2&=\frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}}=\frac{x_1-4x_2-1}{\sqrt{17}} \end{align*}$$
Môžeme vyjadriť aj pôvodné súradnice pomocou nových
$$\begin{align*} x_1&=y_1+1=\frac{4z_1+z_2}{\sqrt{17}}+1\\ x_2&=y_2=\frac{z_1-4z_2}{\sqrt{17}} \end{align*}$$

Pri týchto premenných dostaneme rovnicu krivky do tvaru

$$\begin{align*} 9z_1^2-25z_2^2-225&=0\\ \frac{z_1^2}{25}-\frac{z_2^2}9&=1 \end{align*}$$

[Martin Sleziak]

Najprv otočenie, potom posunutie

Pri takomto poradí nemusíme na začiatku zisťovať pomocou sústavy rovníc stred, ale zasa budeme musieť roznásobiť lineárne členy. (V predošlom riešení som síce uviedol ako kontrolu všetky výpočty pri transformáciách premenných, vopred sme však vedeli, ako rovnica krivky po transformácii má vyjsť. V podstate sme museli iba poroznásobovať nejaké veci pri posunutí.)

Máme teda krivku
$$7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218=0,$$
ktorú chceme vhodne otočiť.

Otočenie opäť získame ortogonalizáciou matice $\begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 8 &-23 \end{pmatrix}$. Vlastné hodnoty, vlastné vektory aj príslušnú ortogonálnu maticu sme našli v predošlom postupe. Tak už napíšme rovno transformáciu premenných:
$$\begin{align*} x_1&=\frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}}\\ x_2&=\frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}} \end{align*}$$

Teraz počítajme
$$\begin{multline*} 7x_1^2+16x_1x_2-23x_2^2-14x_1-16x_2-218 =\\= 7\left(\frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}}\right)^2 + 16 \cdot \frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}} \cdot \frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}} - 23\left(\frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}}\right)^2 - 14 \frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}} -16 \frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}} - 218 \end{multline*}$$
Skúsme sa zastaviť a zamyslieť sa nad tým, čo vlastne treba rátať. Vieme, že kvadratická časť po tejto transformácii bude $9y_1^2-25y_2^2$. Teda tú môžeme počítať iba ako prípadnú kontrolu, ale vieme výsledok. Zvyšok, t.j.
$$- 14 \frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}} -16 \frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}} - 218$$
však už budeme musieť poupravovať. Dostaneme
$$\begin{multline*} 9y_1^2-25y_2^2 - 14 \frac{4y_1+y_2}{\sqrt{17}} -16 \frac{y_1-4y_2}{\sqrt{17}} - 218 =\\= 9y_1^2-25y_2^2 - \frac{4\cdot14+16}{\sqrt{17}}y_1 +\frac{4\cdot16-14}{\sqrt{17}}y_2 - 218 =\\= 9y_1^2-25y_2^2 - \frac{72}{\sqrt{17}}y_1 +\frac{50}{\sqrt{17}}y_2 - 218 =\\= 9\left(y_1^2-\frac8{\sqrt{17}}y_1\right)-25\left(y_2^2-\frac2{\sqrt{17}}y_2\right) - 218 =\\= 9\left(y_1-\frac4{\sqrt{17}}\right)^2-25\left(y_2-\frac1{\sqrt{17}}\right)^2 - \frac{9\cdot16}{17}+\frac{25}{17} - 218 =\\= 9\left(y_1-\frac4{\sqrt{17}}\right)^2-25\left(y_2-\frac1{\sqrt{17}}\right)^2 - 225 = 9z_1^2-25z_2^2-225 \end{multline*}$$
ak použijem transformáciu premenných
$$\begin{align*} z_1&=y_1-\frac4{\sqrt{17}}=\frac{4x_1+x_2-4}{\sqrt{17}}\\ z_2&=y_2+\frac1{\sqrt{17}}=\frac{x_1-4x_2-1}{\sqrt{17}} \end{align*}$$
Dostali sme presne rovnakú transformáciu premenných ako pri predošlom postupe.

Opäť sme dostali presne tú istú rovnicu
$$\begin{align*} 9z_1^2-25z_2^2-225&=0\\ \frac{z_1^2}{25}-\frac{z_2^2}9&=1 \end{align*}$$

[Martin Sleziak]

Čo všetko vieme povedať o hyperbole, ktorá nám vyšla? (Hlavne nás zaujímajú informácie takého typu, ktoré by nám mohli pomôcť pri jej načrtnutí.)

Stred leží v bode určenom ako $z_1=z_2=0$, t.j. $x_1=1$, $x_2=0$.

Vieme vypočítať osi, ktoré sú určené rovnicami $z_1=0$ a $z_2=0$, teda sú to priamky
$$\begin{align*} 4x_1+x_2-4&=0\\ x_1-4x_2-1&=0 \end{align*}$$

Máme hyperbolu tvaru
$$\frac{z_1^2}{5^2}-\frac{z_2^2}{3^2}=1.$$
Teda asymptoty sú určené rovnicami $\frac{z_1}5=\pm\frac{z_2}3$. (A po dosadení vieme tieto priamky vyjadriť v súradniciach $x_1$ a $x_2$.)

Takisto vieme, že priesečníky s osou je bod $z_1=5$, $z_2=0$. Opäť by sme vedeli vyjadriť ich súradnice aj v pôvodnej súradnicovej sústave buď riešením sústavy dvoch rovníc alebo nájdením bodu, ktorý leží na priamke $x_1-4x_2-1=0$ vo vzdialenosti $5$ od stredu hyperboly. Dostaneme body $(1\pm20/\sqrt{17},\pm5/\sqrt{17})$.

[Martin Sleziak]

Kreslenie
Ešte som dostal mailom otázku k tomu, že ako na základe týchto údajov načrtneme hľadanú hyperbolu.

Vieme si nakresliť osi súradnicovej sústavy $z_1=0$, $z_2=0$, t.j. priamky určené rovnicami
$\begin{align*} 4x_1+x_2-4&=0\\ x_1-4x_2-1&=0 \end{align*}$.
Potom nám vlastne stačí kresliť v tejto súradnicovej sústave, kde má hyperbola rovnicu
$$\frac{z_1^2}{5^2}-\frac{z_2^2}{3^2}=1.$$
Treba vedieť, čo táto rovnica hovorí o hyperbole. Hovorí nám, že bude otočená v smere osi $z_1$, ktorá ju pretína. Os $z_2$ (teda priamka $z_1=0$ ju nepretína.

V tejto súradnicovej sústave by to malo vyzerať takto.

Tu skúsim dať link na to ako to vyzerá už v posunutej a otočenej sústave.

A ak chceme načrtnúť hyperbolu o čosi presnejšie môžeme sa pokúsiť nájsť aj asymptoty.
Ako som už spomenul, sú to priamky určené rovnicami $\frac{z_1}5=\pm\frac{z_2}3$, t.j. $3z_1+5z_2=0$ a $3z_1-5Z_2=0$.
Teda dostaneme
$3(4x_1+x_2-4)+5(x_1-4x_2-1)=17x_1-17x_2-17=0$
$3(4x_1+x_2-4)-5(x_1-4x_2-1)=7x_1+23x_2-7=0$
Opäť sa môžete pozrieť na obrázok.