Písomky na výberovom cviku 1PMA (ZS 2015/16)

[Martin Sleziak]

Zadanie prvej písomky:

Skupina A

1. Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
$$\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=3\\
x_1+2x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+2x_3&=1
\end{align*}$$

2. a) Napíšte definíciu injektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je injekcia, tak $g$ je injekcia.

Skupina B

Nájdite všetky riešenia danej sústavy. (Môžete využívať akúkoľvek metódu. Jasne vyznačte všetky riešenia.)
\begin{align*}
2x_1+x_2+x_3&=4\\
x_1+x_2+x_3&=2\\
x_1+2x_2+3x_3&=1
\end{align*}

2. a) Napíšte definíciu surjektívneho zobrazenia.
b) Platí nasledujúce tvrdenie? Ak áno, dokážte ho, ak nie, nájdite kontrapríklad: Ak $f\colon X\to Y$ a $g\colon Y\to Z$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.

Časom možno napíšem na fórum niečo aj k riešeniam a k chybám, ktoré sa vyskytovali. (Podľa toho, či sa mi bude podľa vašich riešením písomky zdať, že je treba nejaké komentáre.)

Príklad zo skupiny B na zobrazenia sa vyskytol na písomke aj minulý semester:
viewtopic.php?t=493
(Na príklad zo skupiny A sa dá použiť presne ten istý kontrapríklad.)

EDIT: Niečo k riešeniu úlohy o injekciách som dal sem: viewtopic.php?t=735

Ak si chcete pozrieť iné príklady z týchto úvodných tém, ktoré sa vyskytli na písomkách minulý rok, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=484
viewtopic.php?t=496

Sústavy

V oboch skupinách bola zadaná sústava, ktorá má práve jedno riešenie.

Pre sústavu sa ľahko dá urobiť skúška správnosti - stačí dosadiť hodnoty do pôvodnej sústavy. Čiže kto mal na písomke čas, tak si mohol overiť, či jeho výsledok vyhovuje zadanej sústave. (Zdá sa, že niektorí ste si skúšku neurobili.)

V skupine A: $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-1$.

V skupine B: $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

[Martin Sleziak]

Zadania druhej písomky:

Skupina A

1. Nech $G=(\mathbb R^+\times\mathbb R, \square)$. Pre každé $(a,b),(c,d)\in\mathbb R^+\times\mathbb R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(2ac,b+d)$. Je $\square$ binárna operácia na množine $G$? Je $(G,\square)$ grupa? Je to komutatívna grupa?

2. Je relácia $R=\{(x,y)\in \mathbb R^2; |x|\ge|y|\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Skupina B

1. Nech $G=(\mathbb R^+\times\mathbb R, \square)$. Pre každé $(a,b),(c,d)\in\mathbb R^+\times\mathbb R$ definujeme $(a,b)\square(c,d)=(\frac12ac,b+d)$. Je $\square$ binárna operácia na množine $G$? Je $(G,\square)$ grupa? Je to komutatívna grupa?

2. Je relácia $R=\{(x,y)\in \mathbb R^2; x+y\ge0\}$ na množine $M=\mathbb R$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Podobne ako minule, napíšem časom na fórum ako sa úlohy dali riešiť. (A ak bude treba, tak aj niečo k chybám, ktoré sa vyskytnú v písomkách.)