Úlohy LS 2012/13

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Dokážte priamo z definície, že pre ľubovoľný vektor $\vec\alpha$ platí $\langle\vec\alpha,\vec0\rangle=0$. (Priamo z definície znamená, že môžete použiť iba tie štyri vlastnosti skalárneho súčinu, ktoré sme uviedli v definícii.)

Viacero ďalších úloh sa týka overenia, či ide o~skalárny súčin.
(Pri overovaní definície skalárneho súčinu je väčšinou najzaujímavejšia štvrtá podmienka. Ak teda ukazujete, že ide o skalárny súčin, overte štvrtú podmienku a jednu z ostatných troch. Samozrejme, ak sa snažíte nájsť kontrapríklad, tak si treba vybrať tú podmienku, ktorá neplatí. Ak uvediete kontrapríklad, bolo by fajn stručne napísať aj to, ako ste na ten kontrapríklad prišli.)

Úloha 1.2. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Úloha 1.3. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+3a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

Úloha 1.4. Zistite, či predpis $\langle\vec\alpha,\vec\beta\rangle=2a_1b_1-a_1b_2-a_2b_1+a_1b_3-a_3b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_2+a_3b_3$ určuje skalárny súčin na $\mathbb R^3$.

EDIT: Pridal som ešte jednu úlohu.

Úloha 1.5 Ukážte, že v priestore $C(0,2\pi)$ všetkých spojitých funkcií so skalárnym súčinom
$$\langle f,g \rangle = \int_0^{2\pi} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t$$
sú ľubovoľné dva (navzájom rôzne) vektory z množiny $\{1, \cos nx, \sin mx; m,n\in\mathbb N\}$ na seba kolmé.
(Len aby bolo zadanie úplne jasné: Pýtam sa, či sú kolmé $1$ a $\cos nx$; $1$ a $\sin mx$; $\cos nx$ a $\cos mx$; $\cos nx$ a $\sin mx$; $\sin nx$ a $\sin mx$; a to pre ľubovoľné prirodzené čísla $m$, $n$.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
1 Gábriš M.
1 Hozza J.
1 Korbaš R.
1 Kubincová P.

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre $S=[(1,2,3,1),(1,1,1,1),(1,2,3,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.2. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.3. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,2),(0,1,1,-1),(1,0,2,2)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.4. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(1,-1,-2,0),(1,0,1,1),(1,1,2,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Úloha 2.5 Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(1,-1,-2,1),(1,0,-1,2),(1,1,0,3)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
2 Gábriš M.
1 Filek M.
1 Hozza J.
2 Korbaš R.
1 Kubincová P.
1 Pápay L.
1 Skok A.

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1x_2+x_2x_3$.

Úloha 3.2. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1^2+2x_1x_2-x_2^2+4x_2x_3$.

Úloha 3.3. Upravte na diagonálny (prípadne kanonický) tvar a nájdite príslušnú transformáciu premenných. Zapíšte aj maticové rovnosti, ktoré z výsledkov vyplývajú: $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_2x_3$.

Úloha 3.4. Preveďte kvadratickú formu $\sum\limits_{1\le i<k\le n} x_ix_k$ na diagonálny tvar. (Zapíšte aj zodpovedajúcu maticovú rovnosť.)

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
2 Gábriš M.
1 Filek M.
1 Hozza J.
3 Korbaš R.
1 Kubincová P.
1 Pápay L.
2 Pisarčíková A.
1 Skok A.

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1: Nech $A$ je symetrická reálna matica taká, že $D_1>0, D_2>0, \dots, D_n>0$. (Determinanty $D_k$ majú rovnaký význam ako v tvrdení z prednášky). Dokážte, že potom $a_{nn}>0$.

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Ukážte, že relácia $\sim$ na množine matíc $M_{n,n}(F)$ určená tak, že
$$A\sim B \Leftrightarrow \text{ existuje regulárna matica $P$ taká, že }B=PAP^{-1}$$
je reĺácia ekvivalencie. (Stručne: Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie.)

Úloha 5.2. Máme dané vektory $\vec\alpha_1=(1,0,1)$, $\vec\alpha_2=(1,1,1)$, $\vec\alpha_3=(0,1,-1)$ a $\vec\beta_1=(1,1,3)$, $\vec\beta_2=(-1,0,-3)$, $\vec\beta_3=(0,1,1)$. Skontrolujte, či $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ aj $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$ tvoria bázu v $\mathbb R^3$. Nájdite maticu prechodu od bázy $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ k báze $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$. Nájdite aj maticu prechodu opačným smerom.

Úloha 5.3.Nech $A=cI$. Aké matice sú podobné s maticou $A$?

Úloha 5.4. Ukážte, že ak $A$ a $B$ sú podobné, tak majú rovnakú hodnosť, determinant a stopu. (Pripomeňme, že stopa štvorcovej matice $A$ je definovaná ako súčet diagonálnych prvkov: $\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Hint: Možno sa oplatí dokázať najprv platnosť rovnosti $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$ pre ľubovoľné matice $A$, $B$ typu $n\times n$.)
(Poznámka: Už sme na prednáške videli, že tieto veci vyplývajú z toho, že podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm. Stále sem však môžete skúsiť napísať, ako sa to dá dokázať priamo z definície.)

Úloha 5.5.Pre vektory $\vec\gamma_i\in\mathbb R^3$, $i=1,2,3$, označme ako $\vec{x}_i$ súradnice vektora v báze $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3$ a $\vec{x}'_i$ súradnice toho istého v báze $\vec\alpha'_1,\vec\alpha'_2,\vec\alpha'_3$.
Nájdite matice prechodu od $\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\vec\alpha_3$ k $\vec\alpha'_1,\vec\alpha'_2,\vec\alpha'_3$ ak viete, že
$\vec{x}_1=(1,2,1)$, $\vec{x}_2=(-1,1,1)$, $\vec{x}_3=(-2,1,1)$,
$\vec{x}'_1=(1,-1,1)$, $\vec{x}'_2=(3,1,2)$ a $\vec{x}'_3=(2,1,-2)$.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
2 Gábriš M.
1 Filek M.
1 Hozza J.
5 Korbaš R.
1 Kubincová P.
1 Pápay L.
2 Pisarčíková A.
1 Skok A.