Úlohy LS 2013/14

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Úlohy, ktoré tu vyriešite, by mohli poslúžiť ostatným na to, aby si mohli pozrieť riešenia niektorých úloh. Každopádne sa mi ale zdá lepšie, ak ste nútený trochu o zadaných úlohách porozmýšľať ako keby ste niekde mali zverejnené riešenia všetkých úloh. To je dôvod prečo chcem, aby ste si vlastne takto nejakú malú zbierku vyriešených úloh vyrobili sami.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Nech $(G,*)$ je grupa a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že ak pre všetky $x\in G$ platí $x*x=e$, tak grupa $G$ je komutatívna.

Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.

Úloha 1.3. Nájdite príklad nekonečnej grupy, ktorá obsahuje netriviálnu konečnú podgrupu. (Pod netriviálnou podgrupou tu rozumieme podgrupu, ktorá má viac ako jeden prvok.)

Úloha 1.4. Dokážte, alebo vyvráťte: Ak $H_1$ je podgrupa $G_1$ a $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa $G_1\times G_2$.

Úloha 1.5. Matice typu $n\times n$, ktoré v každom riadku a každom stĺpci majú práve jednu jednotku a ostatné prvky sú nulové, s operáciou násobenia matíc tvoria grupu. (Hint: Súvisia tieto matice nejako s permutáciami? Akým lineárnym zobrazeniam zodpovedajú?)

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Ak $A,B,C$ sú podgrupy $G$ a $C\subseteq A\cup B$, tak $C\subseteq A$ alebo $C\subseteq B$.

Úloha 2.2. Nech $A$, $B$ sú podgrupy grupy $G$. Dokážte, že $AB$ je podgrupa $G$ práve vtedy, keď $AB=BA$.

Úloha 2.3. Nájdite všetky podgrupy grupy $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ (súčin dvoch grúp sme definovali na prvom cvičení) a všetky podgrupy grupy $\mathbb Z_4$ (v oboch prípadoch operácia $\oplus$). Majú tieto grupy rovnaký počet dvojprvkových podgrúp? Viete na základe výsledku zdôvodniť, že tieto dve grupy nie sú izomorfné?

Úloha 2.4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$. Je aj každá podgrupa grupy $(V,+)$ podpriestorom priestoru $V$? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom $\mathbb Z_p$?

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr gG{G'}$ a $\Zobr h{H}{H'}$ sú homomorfizmy grúp. Potom aj zobrazenie $\Zobr f{G\times H}{G'\times H'}$ dané predpisom $f(x,y)=(g(x),h(y))$ je homomorfizmus. Ak $g$ a $h$ sú izomorfizmy (surjektívne homomorfizmy/injektívne homomorfizmy), tak $f$ je izomorfizmus (surjektívny homomorfizmus/injektívny homomorfizmus).

Úloha 3.2. Dokážte, že grupa $(\mathbb Q,+)$ nie je cyklická.

Úloha 3.3. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je grupa $H$ homomorfným obrazom grupy $G$. Svoju odpoveď zdôvodnite!
$G=(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$, $H=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$

Úloha 3.4. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je grupa $H$ homomorfným obrazom grupy $G$. Svoju odpoveď zdôvodnite!
$G=(\mathbb Q,+)$, $H=(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$

Úloha 3.5. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je niektorá z nich homomorfným obrazom druhej. Svoju odpoveď zdôvodnite!
a) $G=(\mathbb R,+)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$
b) $G=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$

Úloha 3.6. Nájdite izomorfizmus medzi $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ a $(G,\cdot)$, kde $G=\{\begin{pmatrix}a & b\\-b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, (a,b)\ne(0,0)\}$; operácia na $G$ je obvyklé násobenie matíc. (O $(G,\cdot)$ vieme z minulého cvičenia, že je to grupa. Vedeli by sme zdôvodniť, že je to grupa, s použitím izomorfizmu nájdeného v tejto úlohe. Alebo obrátene, ak vieme, že $G$ je grupa, mohli by sme tento fakt použiť spolu s existenciou izomorfizmu na zdôvodnenie toho, že $(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$ je grupa?)

Úloha 3.7. Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je homomorfizmus grúp. Dokážte:
a) Zobrazenie $f$ je surjektívne práve vtedy, keď $\operatorname{Im} f=H$.
b) Zobrazenie $g$ je injektívne práve vtedy, keď $\operatorname{Ker} f=\{e\}$.

Úloha 3.8. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.

Úloha 3.9. Nech ${f,g}\colon G\to H$ sú homomorfizmy grúp. Je množina $\{a\in G; f(a)=g(a)\}$ podgrupa grupy $G$?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov z úlohy na fóre je:
F. Koľbík 2b
A. Gafurov 1b
J. Petrucha 1b

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie $\newcommand{\permn}[3]{\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ #1 & #2 & \ldots & #3\end{pmatrix}}\permn {a_1}{a_2}{a_n}$ je $k$, zistite počet inverzií permutácie $\permn {a_n}{a_{n-1}}{a_1}$.

Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa $A_n$ je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov $(ijk)$ dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru $(123), (124), \ldots, (12n)$.

Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy $S_n$ má rád 2? (Inak povedané: Aký je počet prvkov alternujúcej grupy $A_n$?)

Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu $A$ grupy $G$ platí $AA^{-1}=A^{-1}A$. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Úloha 4.5. Vo vete na prednáške sme ukázali, že ak $H\triangleleft G$, tak predpis
$$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$$
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu $G$ podľa $H$. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak $H\triangleleft G$. (Teda invariantnosť podgrupy $H$ je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)

Úloha 4.6. Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy $G$, $a\in A$ a $b\in B$, tak $aba^{-1}b^{-1}\in A\cap B$.

Úloha 4.7. Uvažujme grupu $G=\{A\in M_{2,2}(F); |A|=1\}$ s operáciou násobenia. (Pričom $F$ je ľubovoľné pole.) Definujme $H=\{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}; a\in F\}$.
a) Overte, že $H$ je podgrupa $G$.
b) Je táto podgrupa komutatívna?
c) Je táto podgrupa normálna?
Aké lineárne zobrazenia zodpovedajú maticiam patriacim do $H$?

Úloha 4.8. Nech $G=\{\begin{pmatrix}a&0\\b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a\ne0\}$ a $H=\{\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}); c\in \mathbb R\}$.
a) Overte, že $G$ tvorí s operáciou násobenia matíc grupu a že $H$ je podgrupa grupy $G$.
b) Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$?
(Všimnite si, že $H$ je tá istá grupa, ako v predošlej úlohe, ale teraz sa na ňu pozeráme ako na podgrupu inej grupy.)

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?

Úloha 5.2. Nech $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}G=(\Z\times\Z,+)$ a $H=2\Z\times3\Z$. Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$? S akou grupou je izomorfná grupa $G/H$?

Úloha 5.3. Nech $G=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}; a,b,c\in\mathbb R, a,c\ne 0\}$. Zistite či $G$ je grupa.
Nech $H=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a\ne 0\}$. Je $H$ podgrupa grupy $G$?
Je táto podgrupa normálna? Ak áno, tak nájdite grupu, s ktorou je izomorfná faktorová grupa $G/H$.

Úloha 5.4. Dokážte, že ak $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy $G$ podľa normálnej podgrupy $\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\Ker f$ pozostáva presne z množín $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv f(x)=\{g\in G; f(g)=x\}$ pre $x\in H$.

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Ak $R$ je obor integrity a $x^2=1$, tak $x=1$ alebo $x=-1$.

Úloha 6.2. Zistite, ktoré z nasledujúcich zobrazení sú homomorfizmy medzi okruhom $A$ všetkých matíc typu $2\times2$ s~celočíselnými koeficientami a okruhom $\mathbb Z$.
a) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto a$
b) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto a+d$ (stopa matice)
b) $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto ad-bc$ (determinant matice)

Úloha 6.3. Prienik ľubovoľného systému podokruhov je podokruh. Prienik ľubovoľného systému ideálov je ideál.

Úloha 6.4. Nech $X\ne\emptyset$ je ľubovoľná neprázdna množina. Dokážte, že potenčná množina $(P(X),\triangle,\cap)$ s operáciami $\triangle$ (symetrická diferencia množín) a $\cap$ (prienik množín) tvorí okruh. Nájdite izomorfizmus medzi týmto okruhom a okruhom $\mathbb Z_2^X$. (Poznámka: Bijekcia, ktorú nájdete v druhej časti, by sa dala použiť aj na dôkaz tvrdenia uvedeného v prvej časti.)

Úloha 6.5. Ukážte, že $f\colon{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\mapsto{a+bi}$ je izomorfizmus medzi okruhmi $R=\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R\}$ (s~operáciami násobenia matíc a sčitovania matíc) a $(\mathbb C,+,\cdot)$. Zamyslite sa aj nad tým, či sú to naozaj okruhy.

[Martin Sleziak]

Úloha 7.1. Nech $R$ je komutatívny okruh s jednotkou. Dokážte, že v ňom platí binomická veta $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk \times a^kb^{n-k}.$$

Úloha 7.2. Zistite (a zdôvodnite), s akými okruhmi sú izomorfné okruhy $\mathbb Z_{60}/(15)$, $\mathbb Z_{60}/(20)$, $\mathbb Z_{60}/(12)$.

Úloha 7.3.${}^*$ Je ideál $(2+i)=\{(2+i)z; z\in\mathbb Z[ i ]\}$ maximálny ideál v okruhu $\mathbb Z[ i ]=\{a+bi; a, b\in\mathbb Z\}$? Je tento ideál hlavný?

Úloha 7.4. Ak $I_1,I_2$ sú ideály v~okruhu $(R,+,\cdot)$, tak aj
a) $I_1+I_2=\{a+b; a\in I_1,b\in I_2\}$ je ideál v$R$.
b) $I_1.I_2=\{a_1b_1+\dots+a_nb_n; n\in\mathbb N, a_i,b_i\in R\}$ je ideál v$R$.

Úloha 7.5. Nech $(G,*)$ je cyklická grupa, $a$ je jej generátor, t.j. $G=[a]$. Ak definujeme operáciu $\cdot$ ako $a^k\cdot a^l=a^{k.l}$ (pre ľubovoľné $k,l\in\mathbb Z$), tak $(G,*,\cdot)$ je okruh. Viete povedať (v závislosti od rádu generátora $a$) s akým okruho je tento okruh izomorfný?

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Dokážte: Nech $R$ je okruh hlavných ideálov, $a,b,c\in R$. Ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$, tak $a\mid c$.

Úloha 8.2. Dokážte, že ak $K$ je nadpole poľa $F$, tak $K$ je súčasne vektorový priestor nad $F$. (Pod tým, že $K$ je nadpole $F$, resp. že $F$ je podpole $K$ rozumieme to, že $F$ je podokruh $K$ a súčasne $F$ aj $K$ sú polia.) Tento dôkaz by mal byť vcelku ľahký - vlastne ide len o to, aby ste si zopakovali definíciu vektorového priestoru. Pretože ho však budeme často používať, tak sa naň možno nezaškodí pozrieť.