Na minulej prednáške som spomínal hypotézu kontinua. Sformuloval som ju dvoma spôsobmi, ten stručnejší bol rovnosť $\aleph_1=2^{\aleph_0}$.
Kardinál $\aleph_1$ je najmenší nespočítateľný kardinál.
Dnes padla otázka, odkiaľ vieme, že vôbec taký kardinál existuje. Platí, že každá množina kardinálov je dobre usporiadaná, a teda má najmenší prvok. (Tento výsledok je užitočný aj inde, nielen na to, že existuje $\aleph_1$.) Dôkaz tohto faktu ste však zatiaľ pravdepodobne nemali. Dúfam, že keď sa budeme zaoberať ordinálnymi číslami, tak sa nájde čas aj na to, aby som niečo povedal o tom, ako sa definujú kardinály. Keď už budeme mať nejaké vedomosti o ordinálnych číslach a budeme vedieť, že kardinálne čísla sú podtrieda ordinálnych čísel, tak tento fakt z toho vyjde ako dôsledok.
Každopádne sem pridám ešte jednu linku, kde si v prípade záujmu môžete niečo o tom prečítať: How do we know an $\aleph_1$ exists at all?
Ako vieme, že $\aleph_1$ existuje?
Moderator: Martin Sleziak