Taylorov rozvoj polynómu

[TomasRusin]

Nech $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ je polynóm stupňa $n\geq 1$ s koeficientami z poľa $F$. Taylorov rozvoj polynómu $f(x)$ v bode $c\in F$ je zápis
$f(x)=b_n(x-c)^n+b_{n-1}(x-c)^{n-1}+\cdots+b_1(x-c)+b_0$, kde $b_0,\dots,b_n \in F$.

Zrejme to môžme upraviť nasledovne
\begin{eqnarray}
f(x)&=&b_n(x-c)^n+b_{n-1}(x-c)^{n-1}+\cdots+b_1(x-c)+b_0=\\
&=&(b_n(x-c)^{n-1}+b_{n-1}(x-c)^{n-2}+\cdots+b_1)(x-c)+b_0=\\
&\vdots&\\
&=&(\dots(b_n(x-c)+b_{n-1})(x-c)+\cdots+b_1)(x-c)+b_0\\
\end{eqnarray}

Teda koeficienty $b_i$ vypočítame ako zvyšky po $(i+1)$-násobnom delení polynómom $x-c$. Na delenie polynómami tvaru $x-c$ nám slúži Hornerova schéma.
Ukážeme si to na príklade.

Príklad 1. Určte Taylorov rozvoj polynómu $f(x)=2x^3-x^2+4x-5\in \mathbb R[x]$ v bode $c=-1$.
Použitím Hornerovej schémy budeme tento polynóm deliť $x-c$, v tomto prípade $x+1$, a zapisovať si zvyšky.
\begin{array}
{} & 2 & -1 & 4 & -5& \\
\hline
-1 & {} & -2 & 3 & -7& \\
{} & 2 & -3 & 7 & -12& \\
\hline
-1 & {} & -2 & 5\\
{} & 2 & -5 & 12\\
\hline
-1 & {} & -2\\
{} & 2 & -7\\
\hline
-1 & {}\\
{} & 2
\end{array}

Dostali sme $b_0=-12$, $b_1=12$, $b_2=-7$, $b_3=2$.
Výsledok teda je $f(x)=2(x+1)^3-7(x+1)^2+12(x+1)-12$.

Príklad 2. Pomocou Taylorovho rozvoja a Eisensteinového kritéria môžme dokázať, že ak $p$ je prvočíslo, tak polynóm $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\in \mathbb Q[x]$ je ireducibilný.
Spravíme Taylorov rozvoj v bode $c=1$. Nebudeme to v tomto prípade viacnásobne deliť, ale použijeme iný spôsob. Najskôr si zapíšme $f(x)$ v tvare
\begin{equation}
f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}
\end{equation}
Neznámu $x$ si rozpíšeme takto $x=(x-1)+1$ a priamo dosadíme. S využitím binomickej vety dostaneme
\begin{equation}
f(x)=\frac{((x-1)+1)^p-1}{x-1}=\frac{(x-1)^p+{p \choose {p-1}}(x-1)^{p-1}+\cdots+{p \choose 1}(x-1)+1-1}{x-1}=(x-1)^{p-1}+{p \choose {p-1}}(x-1)^{p-2}+\cdots+{p \choose 1}
\end{equation}
Teda $f(x)$ sme zapísali ako polynóm v neznámej $x-1$. Tento polynóm je ireducibilný podľa Eisensteinového kritéria, lebo vedúci koeficient je $1$,
každé kombinačné číslo ${p \choose i}$ pre $i=1,...,p-1$ je deliteľné prvočíslom $p$, ale zároveň $p^2$ nedelí ${p \choose 1}=p$.