Počítanie inverznej matice

[Martin Sleziak]

Bol som dnes na skúške trochu prekvapený, že väčšina ľudí, ktorá dostala ako príklad vyrátať inverznú maticu, používala postup cez adjungovanú maticu. To je síce správny postup, ktorý vedie k správnemu výsledku, je však (hlavne pre väčšie rozmery) veľmi prácny a ťažko sa hľadá chyba. (Možno ste to tak rátali preto, že výpočet cez adjungovanú maticu ste videli nedávno na jednom z posledných cvičení - bolo to však skôr myslené ako ukážka, že aj toto sa dá urobiť pomocou determinantov.)

Ak by ste postupovali tak, že nájdete maticu inverzného zobrazenia, tak viete ako tam v prípade chyby viete chybu pomerne ľahko hľadať. (V aktuálnej verzii textu je to poznámka 5.2.18 a úloha 5.3.1.)

Ukážeme si to na jednom príklade. Jednu úlohu tohoto typu máte vyriešenú aj medzi riešenými úlohami na stránke.

Príklad:

$A=\begin{pmatrix}
1&0&1&1\\
1&-1&1&1\\
0&2&-2&0\\
3&-3&5&4
\end{pmatrix}$

Chceme nájsť maticu $A^{-1}$, pričom vieme, že to je presne matica inverzného zobrazenia, takže môžeme postupovať ako pri hľadaní matice zobrazenia:
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
1 &-1 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 &-2 & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
3 &-3 & 5 & 4 &|& 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 &-1 & 0 & 0 &|&-1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 &-2 & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 &-3 & 2 & 1 &|&-3 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 2 &-2 & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 &-3 & 2 & 1 &|&-3 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 &-2 & 0 &|&-2 & 2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 & 1 &|& 0 &-3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$

Na tomto mieste sa môžeme zastaviť, aby sme si ukázali, ako môžeme priebežne výpočet kontrolovať.
V prvom riadku máme vpravo čísla 1,0,0,0, čiže naľavo by sme mali mať presne prvý riadok pôvodnej matice. To sedí. (Tu ani veľmi nemohlo dôjsť k inej chybe, ako zlému odpísaniu, keďže s prvým riadkom sme nič nerobili.)
V druhom riadku nám čísla 1,-1,0,0 hovoria, že by to mal byť presne vektor, ktorý dostaneme, keď zrátame $1$-krát prvý riadok $(-1)$-krát druhý riadok pôvodnej matice. Opäť sedí.
Pri treťom a štvrtom riadku máme viac počítania, keďže je tu viac nenulových koeficientov, ale presne rovnakým spôsobom môžeme skontrolovať, že zatiaľ všetko sedí. (Napríklad v treťom riadku by mal byť súčet $(-2)$-násobku prvého, 2-násobku druhého a 1-násobku tretieho riadku pôvodnej matice.)

Keď sme sa presvedčili, že sme zatiaľ nespravili chybu, môžeme pokojne pokračovať v~úpravách.

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 &-2 & 0 &|&-2 & 2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 & 1 &|& 0 &-3 & 0 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 &-2 & 0 &|&-2 & 2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|&-2 &-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 &|& 1 &-1 &-\frac12& 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|&-2 &-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 &|& 3 & 1 &-1 &-1\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 &|& 1 &-1 &-\frac12& 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|&-2 &-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\sim$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 &|& 2 & 2 &-\frac12 &-1\\
0 & 1 & 0 & 0 &|& 1 &-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 &|& 1 &-1 &-\frac12& 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|&-2 &-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$

Vyšlo nám, že inverzná matica k matici
$A=\begin{pmatrix}
1&0&1&1\\
1&-1&1&1\\
0&2&-2&0\\
3&-3&5&4
\end{pmatrix}$
je matica
$A^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 2 &-\frac12 &-1\\
1 &-1 & 0 & 0\\
1 &-1 &-\frac12& 0\\
-2 &-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$

Ako skúšku správnosti môžeme vynásobiť tieto matice a presvedčiť sa, že súčin je jednotková matica.