Exercise 17.1

[Martin Sleziak]

Exercise 17.1. Let $G=Q_8=\langle a,b; a^4=1, a^2=b^2, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$.
(a) Find the five conjugacy classes of $G$.
(b) Find $G'$, and construct all the linear characters of $G$.
(c) Complete the character table of $G$.
Compare your table with the character table of $D_8$ (Example 16.3(3)).

Vieme, že $Q_8=\{a^ib^j; i\in\{0,1,2,3\}, j\in\{0,1\}\}$, pričom počítať sa tam dá na základe pravidiel $ba^3=ab$, $ba^2=b^3=a^2b$, $ba=a^3b$.

(a) Triedy konjugácie poznáme z Exercise 12.6. Sú to $\{e\}$, $\{a,a^3\}$, $\{a^2\}$, $\{b,a^2b\}$, $\{ab,a^3b\}$.

(b) Pretože $a^{-1}b^{-1}ab=a^3bab=a^6b^2=a^2$, vidíme, že $a^2\in G'$.
Všimnime si, že podgrupa $H=\langle a^2\rangle = \{1,a^2\}$ je normálna. Ľavé triedy sú $\{1,a^2\}$, $\{a,a^3\}$, $\{b,a^2b\}$, $\{ab,a^3b\}$, a rovnaké triedy dostame v pravom rozklade. (Alebo si stačí všímnúť, že je to zjednotenie tried konjugácie.)
Faktorová grupa $G/H$ má 4 prvky, teda je komutatívna. Na základe toho vieme, že $G'\subseteq\langle a^2\rangle$.

Zistili sme, že $\underline{\underline{G'=\langle a^2\rangle}}$.

Keď si ďalej všimneme, že $G/G'=\{G',aG',bG',abG'\} \cong C_2\times C_2$ (lebo všetky prvky sú tam rádu dva; $abab=a^4b^2=a^2\in G$), tak máme tieto charaktery
$$
\begin{array}{cccc}
G' & aG' & bG' & abG' \\\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}
$$

Ich zdvihnutím do $G$ dostaneme všetky lineárne charaktery a v tabuľke charakterov nám už chýba len jeden charakter.
$$
\begin{array}{cccccc}
g & 1 & a & a^2 & b & ab \\
|C_G(g)| & 8 & 4 & 8 & 4 & 4 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
\chi_5 & & & & &
\end{array}
$$

(c) V prvom stĺpci máme doplniť jedno prirodzené číslo, tak aby súčet druhých mocnín bol 8. Jediná možnosť je $4\times1^2+2^2=8$.
Súčasne v stĺpcoch $a$, $b$ a $ab$ je už teraz súčet druhých mocnín veľkostí rovný 4, takže tam pribudnú nuly.
$$
\begin{array}{cccccc}
g & 1 & a & a^2 & b & ab \\
|C_G(g)| & 8 & 4 & 8 & 4 & 4 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
\chi_5 & 2 & 0 & x & 0 & 0
\end{array}
$$

Aby bol stĺpec $a^2$ kolmý na stĺpec $1$, musí platiť $4+2x=0$, teda $x=-2$.

$$
\begin{array}{cccccc}
g & 1 & a & a^2 & b & ab \\
|C_G(g)| & 8 & 4 & 8 & 4 & 4 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
\chi_5 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0
\end{array}
$$

Vidíme, že tabuľka je rovnaká ako pre $D_8$; túto tabuľku máme na s.161 v Example 16.3(3) aj na s.177 v Exercise 17.5. Tieto grupy však nie sú izomorfné, ako píšu na Wikipedii. Na Wikipedii použili ako argument Cayleyho grafy. Neizomorfnosť sa dá zistiť aj tak, že porovnáme rády prvkov. V $Q_8$ je $a^2$ jediný prvok rádu 2, v $D_8$ ich nájdeme viac. Rády prvkov kvaterniónovej grupy a dihedrálnej grupy $D_8$ si môžeme skontrolovať na groupprops.

**********

Ešte sa možno oplatí spomenúť, že sme videli už viacero reprezentácií, ktoré dajú charakter $\chi_5$, napríklad v Example 4.5(2). (Túto reprezentáciu sme spomínali aj v Exercise 10.6.) Alebo aj v Exercise 14.2 (charaktery sú vypísané vzadu v riešeniach.)

[Martin Sleziak]

Vidíme, že tabuľka je rovnaká ako pre $D_8$; túto tabuľku máme na s.161. Tieto grupy však nie sú izomorfné, ako píšu na Wikipedii. Na Wikipedii použili ako argument Cayleyho grafy. Neizomorfnosť sa dá zistiť aj tak, že porovnáme rády prvkov. V $Q_8$ je $a^2$ jediný prvok rádu 2, v $D_8$ ich nájdeme viac. Rády prvkov kvaterniónovej grupy a dihedrálnej grupy $D_8$ si môžeme skontrolovať na groupprops.

Na MSE som si prečítal, že vraj: More generally, the two noncommutative groups of order $p^3$ for any prime $p$ have the same character table. (Netuším, či to je pravda a ani ako by sa to dokazovalo.) Na groupprops to robia aspoň pre $p=2$, ako príklad tam ukazujú, že ak o $G$ vieme, že má 8 prvkov a je nekomutatívna, tak to už jednoznačne určenú tabuľku charakterov. Zdá sa, že úvahy sú dosť podobné, ako sme používali v riešení tohoto cvičenia.

V knihe Lux, Pahlings: Representations of groups: A Computational Approach som si na s.136 prečítal:

The groups $D_8$ and $Q_8$ are by no means rare examples for non-isomorphic groups having the same character table. In fact, there are very many more examples of this sort, e.g among 2-groups, as Table 2.2 shows.
$$
\begin{array}{ccc}
\text{Order} & \text{Number of isomorphism classes} & \text{Number of character tables} \\\hline
16 & 14 & 11 \\
32 & 51 & 35 \\
64 & 267 & 146 \\
128 & 2328 & 904 \\
256 & 56092 & 9501
\end{array}
$$
In fact, among these groups there are not just pairs, but also triples, quadruples or even larger families of groups having the same character tables. There are even families containing 256 pairwise non-isomorphic groups of order 256 (with rank five and elementary abelian commutator factor group and center of order eight) having the same character table (see [162]).

Ak by však boli všetky charaktery lineárne (=grupy, s ktorými pracujeme, sú komutatívne), tak tabuľka charakterov už jednoznačne určuje grupu:
Are two groups isomorphic if they have the same character table and each |χ|≤1? - MSE
Ako tam píšu, dá sa to odvodiť zo štruktúry konečných abelovských grúp (každá je priamy súčet cyklických, mali sme to aj v tejto knihe ako Theorem 9.6) a dá sa na to pozerať aj ako na špeciálny prípad Pontrjaginovej duality.

[Martin Sleziak]

Nekomutatívna 8-prvková grupa

Na MSE som si prečítal, že vraj: More generally, the two noncommutative groups of order $p^3$ for any prime $p$ have the same character table. (Netuším, či to je pravda a ani ako by sa to dokazovalo.) Na groupprops to robia aspoň pre $p=2$, ako príklad tam ukazujú, že ak o $G$ vieme, že má 8 prvkov a je nekomutatívna, tak to už jednoznačne určenú tabuľku charakterov. Zdá sa, že úvahy sú dosť podobné, ako sme používali v riešení tohoto cvičenia.

Skúsim to spraviť aspoň pre 8-prvkovú grupu, zdá sa, že to je pomerne jednoduché.

Nech $|G|=8$ a $G$ nie je komutatívna. Najprv ukážeme, že $|Z(G)|=2$.

Centrum je podgrupa, teda možnosti pre počet jej prvkov sú 1,2,4,8.
* Je nekomutatívna, nebude to teda 8. (Patrí do dvojprvkovej podgrupy $Z(G)$.)
* Ďalej faktorová grupa $G/Z(G)$ nemôže byť cyklická, lebo to by znamenalo, že $G$ je komutatívna. (Quotient of Group by Center Cyclic implies Abelian) Toto vylučuje možnosť $|Z(G)|=4$.
* Z class equation máme $8=|Z(G)|+\sum_{i=1}^n |g_i^G|$, kde $g_i$ sú reprezentanti tých tried konjugácie, ktoré nie sú jednoprvkové. Každá taká trieda konjugácie má párny počet prvkov, a teda aj $|Z(G)|$ je párne číslo. Vylúčili sme aj možnosť $|Z(G)|=1$.

Zatiaľ sme teda zistili, že $|Z(G)|=2$. Z úvah, ktoré sme pri tom používali však súčasne vidíme, že $G/Z(G)$ je štvorprvková grupa, ktorá nie je cyklická; teda $G/Z(G)\cong C_2\times C_2$. Zdvihnutím charakterov $C_2\times C_2$ dostaneme 4 lineárne charaktery grupy $G$. (Triedy rozkladu $G$ podľa $Z(G)$ si označme $\{1,z\}$, $\{a_1,a_2\}$, $\{b_1,b_2\}$, $\{c_1,c_2\}$.)
$$
\begin{array}{ccccccccc}
& 1 & z & a_1 & a_2 & b_1 & b_2 & c_1 & c_1 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1
\end{array}
$$

Pretože $G$ je nekomutatívna, musí mať aspoň jeden dvojrozmerný charakter. Pretože $8=4\times1^2+2^2$, po pridaní jedného dvojrozmerného charakteru už bude tabuľka úplná. Máme $\chi_5(1)=2$ a všetky ostatné hodnoty charakteru $\chi_5$ dopočítame z podmienok ortogonality pre stĺpce.
$$
\begin{array}{ccccccccc}
& 1 & z & a_1 & a_2 & b_1 & b_2 & c_1 & c_1 \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
\chi_3 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\chi_4 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
\chi_5 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$
Súčasne si môžeme všimnúť, ktoré stĺpce v tabuľke sú rovnaké, a zistíme, že triedy konjugácie sú $\{a_1,a_2\}$, $\{b_1,b_2\}$, $\{c_1,c_2\}$. To, že triedy konjugácie sú dvojprvkové, vidno aj z toho, že pre $g\notin Z(G)$ máme $|C_G(g)|=\sum\limits_{i=1}^5 |\chi_i(g)|^2=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=4=8/2.$

Ďalšie veci, ktoré sme sa súčasne dozvedeli o našej grupe $G$:
* Prvok $z$ má rád 2. (Leží v dvojprvkovej podgrupe $|Z(G)|$.)
* Prvky mimo centra sú konjugované so svojimi inverzami (lebo všetky hodnoty charakterov sú reálne), teda $a_1^{-1}=a_1$ alebo $a_1^{-1}=a_2$. Ak sa pozrieme na triedy konjugácie v grupe $D_8$, tak vidíme, že oba tieto prípady môžu nastať.
* Ako jadrá charakterov dostaneme 5 normálnych podgrúp grupy $G$ (a iné normálne podgrupy už nemá).