Bonusové úlohy

[Ludovit_Balko]

V tomto vlákne budú zadania úloh, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať body navyše (max. 5). Za správne vyriešenie úlohy dostanete 1 bod.

Ak niekto zverejní riešenie úlohy, ktoré nebude správne, znamená to, že daná úloha je rezervovaná pre dotyčného riešiteľa dovtedy, kým jeho riešenie nebude správne, alebo kým úlohu nevzdá.


Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme
$$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$
Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$.

Úloha 1.3* Každá konečná grupa s párnym počtom prvkov obsahuje prvok $x\neq e$ taký, že $x = x^{−1}$.

Úloha 1.5.* Nech $G$ je grupa a $a,b\in G$. Nech pre tieto prvky platia rovnosti $aba=ba^2b$, $a^3=e$ a pre nejaké $n\in\mathbb N$ platí $b^{2n-1}=e$. Dokážte, že $b=e$.
(Hint vedeli by ste ukázať $ab^2=b^2a$? Dá sa to ďalej použiť na dôkaz, že pre tieto prvky platí $ab=ba$?)

Úloha 1.6. Budeme pracovať v grupe $(\mathbb R,+)$.
a) Dokážte, že $[\{2,3\}]=\mathbb Z$;
b) Dokážte, že $[\{1,\sqrt2\}]=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$.
c${}^*$) Je možné podgrupu $[\{1,\sqrt2\}]$ generovať jediným prvkom?

Úloha 2.4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$. Je aj každá podgrupa grupy $(V,+)$ podpriestorom priestoru $V$? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom $\mathbb Z_p$?

Úloha 3.7. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.

Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie $\newcommand{\permn}[3]{\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ #1 & #2 & \ldots & #3\end{pmatrix}}\permn {a_1}{a_2}{a_n}$ je $k$, zistite počet inverzií permutácie $\permn {a_n}{a_{n-1}}{a_1}$.

Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa $A_n$ je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov $(ijk)$ dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru $(123), (124), \ldots, (12n)$.

Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy $S_n$ má rád 2?

Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu $A$ grupy $G$ platí $AA^{-1}=A^{-1}A$. Svoje tvrdenie zdôvodnite. ($A^{-1}=\{a^{-1};a\in A\}$)

Úloha 4.5. Vieme, že ak $H\triangleleft G$ ($H$ je normálna podgrupa grupy $G$), tak predpis
$$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$$
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu $G$ podľa $H$. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak $H\triangleleft G$. (Teda invariantnosť podgrupy $H$ je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)

Úloha 5.1. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?

Úloha 5.4. Dokážte, že ak $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy $G$ podľa normálnej podgrupy $\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\Ker f$ pozostáva presne z množín $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv f(x)=\{g\in G; f(g)=x\}$ pre $x\in H$.

Úloha 5.5 Nech $\Zobr{f,g}{(G,\ast)}{(H,\circ)}$ sú homomorfizmy grúp. Definujme zobrazeníe $\Zobr{h}{G}{H}$ ako $h(x) = f(x) \circ g(x)$. Bude aj h homomorfizmus? Bude $h$ homomorfizmus v prípade, že H je komutatívna?

Úloha 6.1 Nech $\Zobr{\varphi}{G}{H}$ je homomorfizmus grúp. Nech $g \in G$. Označme $h := \varphi(g)$, $A := \varphi^{−1}(h) = \{x \in G; \varphi(x) = h\}$ a $K := \Ker \varphi$. Dokážte, že $A = gK$.

Úloha 6.2 Ak $H$ a $H^\prime$ sú normálne podgrupy $G$ také, že $H \cap H^\prime = \{e\}$, tak $hh^\prime = h^\prime h$ pre ľubovoľné $h \in H$ a $h^\prime \in H^\prime$.