Môžu byť afinné podpriestory súčasne rovnobežné, rôznobežné, mimobežné?

[Martin Sleziak]

Na prednáške sme videli definície viacerých pojmov týkajúcich sa vzájomnej polohy afinných podpriestorov.$\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\vektory}[1]{{#1}}
\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\afin}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\vek}[1]{\vec{#1}}
\newcommand{\emps}{\emptyset}
$

Skúsme sa pozrieť na to, že môžu viaceré z nich nastať súčasne - t.j. či afinné podpriestory môžu byť súčasne rovnobežné aj rôznobežné, rovnobežné aj mimobežné, rôznobežné aj mimobežné.
Mali by sme po troche rozmýšľania prísť na to, že ak takéto niečo môže nastať, tak iba v nejakých veľmi triviálnych prípadoch, keď jeden z priestorov je jediný bod. (Odporúčam, aby ste sa skúsili najprv samostatne zamyslieť nad tým, kedy takéto možnosti nastanú?)

Pripomeniem, že pre rovnobežné podpriestory má ešte zmysel pýtať sa, či sú totožné. (O tom bola reč na cvičení.)
Tiež pripomeniem, že sa môže stať, že nenastane ani jedna z uvedených možností. (Takéto príklady sme mali na prednáške aj na cvičení.)

Pripomeňme najprv definície:
Rovnobežné: $\vektory V(\alpha)\subseteq \vektory V(\beta)$ alebo $\vektory V(\beta)\subseteq \vektory V(\alpha)$
Rôznobežné: $\body B(\alpha)\cap\body B(\beta) \ne \emptyset$ a súčasne $\body B(\alpha) \nsubseteq \body B(\beta)$ a $\body B(\beta) \nsubseteq \body B(\alpha)$
Mimobežné: $\body B(\alpha)\cap\body B(\beta)=\emptyset$, $\vektory V(\alpha)\cap\vektory V(\beta)=\{\vek0\}$

Kedy sú dva AfPP rôznobežné a mimobežné?

Spoiler:

Malo by súčasne platiť, že prienik bodových zložiek je prázdny aj neprázdny - takáto možnosť evidentne nemôže nastať.

Kedy sú dva AfPP rovnobežné aj mimobežné?

Spoiler:

Ak $\vektory V(\alpha)\subseteq \vektory V(\beta)$, tak to znamená, že $\vektory V(\alpha)\cap\vektory V(\beta)=\vektory V(\alpha)$.
Ak súčasne platí $\vektory V(\alpha)\cap\vektory V(\beta)=\{\vek0\}$, tak dostávame $\vektory V(\alpha)=\{\vek0\}$.
Z toho už vidíme, že podpriestor $\alpha$ je iba jediný bod.

Môžeme si tiež uvedomiť, že ak podpriestor $\alpha$ je jediný bod, tak $\alpha$ je rovnobežný s akýmkoľvek podpriestorom.

Kedy sú dva AfPP rovnobežné a rôznobežné?

Možno sa oplatí najprv zamyslieť nad tým, čo vieme o vektorových zložkách povedať pre rôznobežné priestory.

Spoiler:

Vieme, že prienik je neprázdny, teda existuje aspoň jeden bod $C\in \body B(\alpha)\cap \body B(\beta)$.
Potom vektorové zložky vieme vyjadriť ako
\begin{align*}
V(\alpha)&=\{\vekt{CX}; X\in\body B(\alpha)\},\\
V(\beta)&=\{\vekt{CX}; X\in\body B(\beta)\}.
\end{align*}
A aj obrátene, bodové zložky vieme vyjadriť pomocou vektorových
\begin{align*}
\body B(\alpha)=\{C+\vec v; \vec v\in\vektory V(\alpha)\},\\
\body B(\beta)=\{C+\vec v; \vec v\in\vektory V(\beta)\}.
\end{align*}

Z toho už vidíme, že ak $\body B(\alpha) \cap \body B(\beta) \ne\emps$, tak pre rôznobežné podpriestory dostaneme:
* $\body B(\alpha) \nsubseteq \body B(\beta)$ $\implies$ $\vektory V(\alpha) \nsubseteq \vektory V(\beta)$,
* $\body B(\beta) \nsubseteq \body B(\alpha)$ $\implies$ $\vektory V(\beta) \nsubseteq \vektory V(\alpha)$.

Ak sme si rozmysleli, čo máme pre vektorové zložky rôznobežných podpriestorov, tak už nie je ťažké zistiť, či takáto situácia môže nastať.

Spoiler:

Dva podpriestory nemôžu byť súčasne rovnobežné aj rôznobežné.
Nemôže súčasne platiť $\vektory V(\alpha) \nsubseteq \vektory V(\beta)$ aj $\vektory V(\alpha) \subseteq \vektory V(\beta)$.
Nemôže súčasne platiť $\vektory V(\beta) \nsubseteq \vektory V(\alpha)$ aj $\vektory V(\beta) \subseteq \vektory V(\alpha)$.