Vzdialenosť priamky a roviny v $\mathbb R^4$

[Martin Sleziak]

Viacero úloh na vzdialenosti je vyriešených na fóre.
Opäť sa môžete pozrieť napríklad na linky v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509
Podobný príklad ako bol tento (zadané sú priamka a rovina v $\mathbb R^4$, sú mimobežné) bol napríklad tu:
viewtopic.php?t=628
viewtopic.php?t=633
viewtopic.php?t=1076
viewtopic.php?t=1119
viewtopic.php?t=1245
viewtopic.php?t=1545

Napíšem aj tak niečo k riešeniam konkrétnej úlohy, ktorú som dával teraz - nech tu máme kokrétne výpočty. Ale nebudem písať veľa detailov.
Ak by boli nejaké otázky, návrhy na iné riešenia a pod., tak sa dá opýtať tu na fóre. (A samozrejme, dá sa pýtať aj na konzultáciách.)$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}$

Nájdite vzdialenosť roviny $\alpha$ a priamky $p$ v~$\mathbb R^4$.
\begin{gather*}
\alpha\equiv\{(x_1,x_2,x_3,x_4); x_1+x_2-x_3+x_4=-1, 2x_1-x_2+2x_3-x_4=1\}\\
p \equiv
\begin{cases}
x_1=-1+2t\\
x_2=1+t\\
x_3=-1+2t\\
x_4=-1+3t
\end{cases}
\end{gather*}

Pre priamku máme vektorovú zložku $V_p=[(2,1,2,3)]$ a bod $P=(-1,1,-1,-1)$.

Ak zjednodušíme sústavu, ktorou je zadaná rovina, tak dostaneme vektorovú zložku $V_\alpha=[(1,-4,-3,0),(0,1,0,-1)]$ a bod $A=(0,-1,0,0)$.

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 1 &-1 \\
2 &-1 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 1 &-1 \\
0 &-3 & 4 &-3 & 3
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & \frac13 & 0 & 0 \\
0 & 1 &-\frac43 & 1 &-1
\end{array}\right)
$

Pre podpriestor $V=V_p+V_\alpha$ máme $V^\bot=[(1,-2,3,-2)]$.

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 & 3 \\
1 &-4 &-3 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 & 4 \\
1 & 0 &-3 &-4 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 0 &-3 &-4 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 &-4 &-6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac12 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & \frac32 \\
\end{pmatrix}
$

Pomocná nadrovina.
Nájdeme nadrovinu určenú bodom $A=(0,-1,0,0)$ a podpriestorom $V=V_p+V_\alpha$.
Normálový vektor je $(1,-2,3,-2)$ a po dosadení bodu $(0,-1,0,0)$ dostaneme $x_1-2x_2+3x_3-2x_4-2=0$. Pre bod $P=(-1,1,-1,-1)$ patriaci priamke dostaneme
$$d(P,\beta)=\frac{\abs{-1-2-3+2-2}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2+2^2}}=\frac6{\sqrt{18}}=\frac6{3\sqrt2}=\sqrt2.$$

Kolmý priemet.
Jednotkový vektor v smere $V^\bot$ je $\vec n=\frac1{\sqrt{18}}(1,-2,3,-2)$ a teda matica projekcie do $V^\bot$ je
$$M=
\frac1{18}
\begin{pmatrix}
1 &-2 & 3 &-2 \\
-2 & 4 &-6 & 4 \\
3 &-6 & 9 &-6 \\
-2 & 4 &-6 & 4 \\
\end{pmatrix}.
$$

Priemet vektora $\vekt{AP}=(-1,1,-1,-1)-(0,-1,0,0)=(-1,2,-1,-1)$ je
$$\frac1{18}
(-1,2,-1,-1)
\begin{pmatrix}
1 &-2 & 3 &-2 \\
-2 & 4 &-6 & 4 \\
3 &-6 & 9 &-6 \\
-2 & 4 &-6 & 4 \\
\end{pmatrix}=
\frac1{18}(-6,12,-18,12)=\frac13(-1,2,-3,2)=(-\frac13,\frac23,-1,\frac23)$$
Dostaneme
$$\vekt{AP}=(-1,2,-1,-1)=\underset{\in V^\bot}{\underbrace{(-\frac13,\frac23,-1,\frac23)}}+\underset{\in V}{\underbrace{(-\frac23,\frac43,0,-\frac53)}}.$$
Vzdialenosť je presne dĺžka priemetu do $V^\bot$.
Dostaneme teda vzdialenosť $$\left|\frac13(-1,2,-3,2)\right|=\frac{\sqrt{1+2^2+3^2+2^2}}3=\frac{\sqrt{18}}3=\sqrt2.$$

Stredná priečka.
Strednú priečku na nájdenie vzdialenosti nebolo nutné nájsť, ale môžeme sa pozrieť, ako vyjde. (Navyše máme takto dodatočnú kontrolu - vieme potom prekontrolovať, či body určujúce strednú priečku skutočne patria do $p$ a do $\alpha$.)

Vektor $\vekt{AP}=(-1,2,-1,-1)$ rozložím ako súčet štyroch vektorov, ktoré určujú $V_\alpha$, $V_p$ a $V^\bot$.
$$\vekt{AP}=(-1,2,-1,-1)=(-\frac16,\frac{19}{12},\frac12,-\frac{11}{12})+(-\frac12,-\frac14,-\frac12,-\frac34)+(-\frac13,\frac23,-1,\frac23)$$

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
-4 & 1 & 1 &-2 & 2 \\
-3 & 0 & 2 & 3 &-1 \\
0 &-1 & 3 &-2 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
-1 & 1 &-1 &-5 & 3 \\
-3 & 0 & 2 & 3 &-1 \\
0 &-1 & 3 &-2 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 &-4 & 2 \\
0 & 0 & 8 & 6 &-4 \\
0 &-1 & 3 &-2 &-1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 &-4 & 2 \\
0 & 0 & 8 & 6 &-4 \\
0 & 0 & 4 &-6 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 &-4 & 2 \\
0 & 0 &12 & 0 &-3 \\
0 & 0 & 4 &-6 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 &-4 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-\frac14 \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac13
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 0 &-\frac43 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \frac23 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-\frac14 \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac13
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-\frac16 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{11}{12} \\
0 & 0 & 1 & 0 &-\frac14 \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac13
\end{array}\right)
$

Stredná priečka je určená bodmi
\begin{align*}
B&=(-\frac16,\frac7{12},\frac12,-\frac{11}{12})\in\alpha\\
C&=(-\frac12,\frac54,-\frac12,-\frac14)\in p
\end{align*}
pre ktoré máme $\vekt{BC}=(-\frac13,\frac23,-1,\frac23)$.
(Bod $C$ skutočne patrí priamke, dostaneme ho pre $t=\frac14$. Dosadením súradníc bodu $B$ do všeobecného vyjadrenia môžeme preveriť, že to je naozaj bod z našej roviny. A môžeme skontrolovať aj to, že tento vektor je naozaj kolmý na $V_p$ aj na $V_\alpha$. )

Spoiler:

Tieto body sme dostali ako
\begin{align*}
B&=A+(-\frac16,\frac{19}{12},\frac12,-\frac{11}{12})=(0,-1,0,0)+(-\frac16,\frac{19}{12},\frac12,-\frac{11}{12})\\
C&=P-(-\frac12,-\frac14,-\frac12,-\frac34)=(-1,1,-1,-1)-(-\frac12,-\frac14,-\frac12,-\frac34)
\end{align*}