Zadanie: Nech $f : V \rightarrow W$ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru $V$ do vektorového priestoru $W$ nad poľom $F$. Dokážte:
Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$ , tak $f[S] = \{f(\vec{\alpha}); \vec{\alpha} ∈ S\}$ je podpriestor vektorového priestoru $W$.
Ak $T$ je podpriestor vektorového priestoru $W$, tak $f^{-1}(T) = \{\vec{\alpha} ∈ V : f(\vec{\alpha}) ∈ T\}$ je podpriestor vektorového priestoru $V$ .
Riešenie: Nech $f[S] = \{f(\vec{\alpha}); \vec{\alpha} ∈ S\} = M$. Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$, tak potom $\forall \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in S$, platí $\vec{\alpha} + \vec{\beta} \in S$, to však znamená, že $f(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) \in M$ (vyplyva, to z def. $M$). Keďže $f$ je lineárne zobrazenie , tak $f(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta})$, teda $f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) \in M$. Teda $\forall f(\vec{\alpha}), f(\vec{\beta}) \in M$, platí $f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) \in M$, čo je jedna z podmienok, ktorú podpriestor musí spĺňať.
Ak $S$ je podpriestor vektorového priestoru $V$, tak potom $\forall \vec{\alpha} \in S$ a $\forall c \in F$, platí $c\vec{\alpha} \in S$. A preto $f(c\vec{\alpha}) \in M$, keďže $f$ je lineárne zobrazenie $f(c\vec{\alpha}) = cf(\vec{\alpha})$, teda $cf(\vec{\alpha}) \in M$. Teda $\forall f(\vec{\alpha}) \in M$ a $\forall c \in F$, platí $cf(\vec{\alpha}) \in M$.
$\vec{0} \in S$, lebo $S$ je podpriestor, preto vieme, že $f(\vec{0}) \in M$. Keďže $f$ je lineárne zobrazenie, tak $f(\vec{0}) = \vec{0}$, teda $\vec{0} \in M$, a preto $M \not = \emptyset$. $M$ je podpriestor vektorového priestoru $W$, keďže spĺňa všetky potrebné podmienky.
Nech $f^{-1}(T) = \{\vec{\alpha} ∈ V : f(\vec{\alpha}) ∈ T\} = H$. $\forall \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V$, pre ktoré platí $f(\vec{\alpha}), f(\vec{\beta}) \in T$, platí aj $f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) \in T$, lebo $T$ je podpriestor vektorového priestoru $W$. Keďže $f$ je lineárne zobrazenie , tak $f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) = f(\vec{\alpha} + \vec{\beta})$, teda $f(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) \in T$. Teda $\forall \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in H$, platí $\vec{\alpha} + \vec{\beta} \in H$.
$\forall \vec{\alpha}\in V$ a $\forall c \in F$, pre ktoré platí $f(\vec{\alpha}) \in T$, platí aj $cf(\vec{\alpha}) \in T$, lebo $T$ je podpriestor vektorového priestoru $W$. Keďže $f$ je lineárne zobrazenie , tak $cf(\vec{\alpha}) = f(c\vec{\alpha})$, teda $f(c\vec{\alpha}) \in T$. Teda $\forall \vec{\alpha} \in H$ a $\forall c \in F$, platí $c\vec{\alpha} \in H$.
$\vec{0} \in V$, lebo $V$ je vektorový priestor, vieme aj, že $f(\vec{0}) \in T$,lebo $T$ urcite obsahuje $\vec{0}$, keďže je to podpriestor a zároveň $f$ je lineárne zobrazenie, odtiaľ $f(\vec{0}) = \vec{0}$, a teda $\vec{0}$ musí patriť aj do $H$. Preto $H \not = \emptyset$. $H$ je podpriestor vektorového priestoru $V$, keďže spĺňa všetky potrebné podmienky.
Úloha 5.3.6 - riešenie
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican