Úloha 3.2.17 - riešenie

[Nadiya Balanchuk]

Zadanie: Nech konečná množina $G = \{e, a_1, \dots , a_n\}$ tvorí s operáciou $∗$ komutatívnu
grupu a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že $(a_1 ∗ a_2 ∗ \dots ∗ a_n)^
2 = e$.

Riešenie :

Z riešenia úlohy 3.2.12 vyplýva, že $f$ také, že $f(a) = a^{-1}$ je bijekcia na $\{e, a_1, \dots , a_n\}$. Z toho vyplýva, že $a_1 * a_2 * \dots * a_n = a_1^{-1} * a_2^{-1} * \dots * a_n ^{-1}$.
Teraz dokážeme tvrdenie zo zadania:
\begin{align}
e &= e\\
(a_1 * a_ 1^{-1} )*( a_2 * a_2^{-1}) * \dots *( a_n * a_n^{-1}) &= e\\
(a_1 * a_2 * \dots * a_n) * (a_1^{-1} * a_2^{-1} * \dots * a_n ^{-1}) &= e\\
(a_1 * a_2 * \dots * a_n )* (a_1 * a_2 *\dots * a_n) &= e\\
(a_1 ∗ a_2 ∗ \dots ∗ a_n)^2 &= e
\end{align}
V prvom kroku sme využili, že súčin $n$ neutrálnych prvkov je neutrálny prvok a definíciu inverzného prvku. V druhom kroku sme využili komutatívnosť grupy. V treťom kroku sme využili, že $a_1 * a_2 * \dots * a_n = a_1^{-1} * a_2^{-1} * \dots * a_n ^{-1}$.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 b.

vaše ... som nahradil LaTeX-ovskou konštrukciou \dots - to dá tri bodky na správne miesto/zarovnanie do riadka (hlavne čo sa týka výšky, napr. $+\dots+$, alebo $1,\dots,n$ a podobne) a je to vlastne ako jeden znak - v matematickom texte to vyzerá omnoho lepšie.
Ešte som tam pridal nejaké zátvorky, aby tie veci, o ktorých píšete v "popise" bolo lepšie vidiet.