Logické spojky (a kvantifikátory) vs. množinové operácie

[Martin Sleziak]

Pre istotu upozorním na často sa opakujúcu chybu. (Zatiaľ v d.ú. za toto nestrhávam body, na písomke resp. skúške už budem.)

Treba si uvedomiť, že logické spojky píšeme medzi výroky, množinové operácie medzi množiny.

Napríklad:

• Zápis $(x\in A)\land(x\in B)$ aj $x\in A\cap B$ sú správny, zápis $x\in A\land B$ je nesprávny.
• Zápis $(x\in A)\setminus(x\in B)$ je nesprávny, správne zápisy sú $x\in A\setminus B$ a $(x\in A)\land(x\notin B)$.
• Zápis $(\forall i\in I) x\in A_i$ je správny, takisto je v poriadku zápis $x\in\bigcap\limits_{i\in I}A_i$, ale zápis $x\in (\forall i\in I) A_i$ nie je správny.
• Podobne namiesto $x\notin \bigcup_{i\in I} A_i$ môžeme písať $\neg (\exists i\in I) (x\in A_i)$, prípadne $\neg [(\exists i\in I) (x\in A_i)]$, ale zápis $x\notin (\exists i\in I) (x\in A_i)$ nie je správny. (Po symboloch $\in$, $\notin$ by mala nasledovať množina.)

Pokiaľ ste si nie istý tým, ako niečo zapísať, možno je rozumnejšie rozpísať to slovne ako použiť stručnejší zápis, ktorý je nesprávny. (Čiže napísať niečo ako: Nech $x$ je ľubovoľný prvok množiny $A\setminus B$. To znamená, že platí $x\in A$ a $x\notin B$. To je ekvivalentnú s tým, že...)

[Martin Sleziak]

Opäť napíšem niečo k zápisom výrokov s kvantifikátormi - keďže takéto alebo podobné veci sa objavili v niektorých odovzdaných d.ú.

Napríklad takýto zápis nedáva veľmi zmysel: $\forall x\in A \land x\in B$.
Ak použijete $\forall x\in A$, tak ste povedali "pre každé $x\in A$ platí" - a teraz by malo nasledovať, čo platí.
Napríklad zápis $(\forall x\in A) x\in B$ by bol syntakticky správny. (A hovorí to, že $A$ je podmnožina na množiny $B$.)

Napríklad v úlohe, kde sa objavilo $A\setminus \bigcap\limits_{i\in I} B_i$ som si prečítal niečo takéto:

\begin{gather*}
A\setminus \bigcap\limits_{i\in I} B_i\\
A\setminus \forall x\in B_i\\
\forall x\in A \land x\notin B_i
\end{gather*}

Skúsim vysvetliť, prečo sa mi takéto zápisy nepozdávajú - a prečo tvrdím, že nedávajú zmysel.

V prvom rade nedáva zmysel $\forall x\in B_i$; z dôvodov, ktoré som už spomenul vyššie. Ale napísať $(\forall i\in I) x\in B_i$ by bolo úplne legitímne.
Stále by som však protestoval proti zápisu $A\setminus (\forall i\in I) x\in B_i$; tu máme totiž množinovú operáciu $\setminus$ napísanú medzi množinou a výrokom a nie medzi dvoma množinami.
Ktorýkoľvek z týchto dvoch zápisov by bol správny prepis toho, že $x$ patrí do uvedenej množiny.
\begin{gather*}
x\in A\setminus\{x; (\forall i\in I) x\in B_i\}\\
(x\in A) \land \neg \left((\forall i\in I) x\in B_i\right)
\end{gather*}
Keby sme chceli o takomto niečo dokázať, tak by sme sa pozreli na to, ako môžeme znegovať výrok, ktorý vystupuje v uvedenej konkjunkcii.


Drobné odporúčanie.
Počas prednášky často píšem veci pomocou logických spojok alebo kvantifikátorov. (Je to rýchlejšie - súčasne však slovne poviem, čo myslím.)
Nebojte sa zapísať to, čo sa snažíte povedať slovne. Aj keď zápis pomocou kvantifikátorov môže byť stručnejší, hlavne pokiaľ vám nie je úplne jasné ako ho používať a máte s ním problémy, zapíšte to slovne.

Napríklad ak by ste chceli niečo ukázať o prvku z množiny napísanej vyššie.

Chceme ukázať, že $x$ patrí do množiny na ľavej strane.
Zoberme si ľubovoľné $x$ ktoré patrí do $A\setminus \bigcap\limits_{i\in I} B_i$.
To znamená, že $x\in A$ a súčasne $x\notin \bigcap\limits_{i\in I} B_i$.

Vieme, že $x\in\bigcap\limits_{i\in I} B_i$ platí práve vtedy keď pre všetky $i\in I$ máme $x\in B_i$.
Negácia je, že existuje $i\in I$ také, že $x\notin B_i$.

Teda z podmienky, že $x$ patrí do ĽS dostaneme, že $x\in A$ a súčasne existuje nejaký index $i_0\in I$ taký, že $x\notin B_{i_0}$......

[Martin Sleziak]

Ešte skopírujem niečo z inej d.ú. s nejakými komentármi

\begin{align*}
x\in A &\setminus \bigcup_{i\in I}B_i\\
&\Updownarrow\\
x\in A &\land \{x; (\exists i\in I) i\in B_i\}'\\
&\Updownarrow\\
x\in A &\land \neg\{x; (\exists i\in I) i\in B_i\}\\
&\Updownarrow\\
x\in A &\land \{x; (\forall i\in I) i\in B_i\}'
\end{align*}

Tieto tri výroky narážajú presne na problém, o ktorom som písal v tomto topicu:
\begin{gather*}
x\in A \land \{x; (\exists i\in I) i\in B_i\}'\\
x\in A \land \neg\{x; (\exists i\in I) i\in B_i\}\\
x\in A \land \{x; (\forall i\in I) i\notin B_i\}
\end{gather*}
Logická spojka $\land$ by mala byť medzi dvoma výrokmi - tu máme výrok a množinu.
Takisto negáciu môžem použiť na výrok - nie na množinu.
Takéto výroky by boli už syntakticky správne. (Pre istotu som pridal zátvorky, aby bolo jasné, na čo sa vzťahuje konjunkcia resp. nagácia)
\begin{gather*}
(x\in A) \land (x\in \{x; (\exists i\in I) i\in B_i\}')\\
x\in A \land \neg(x\in \{x; (\exists i\in I) i\in B_i\})\\
x\in A \land (x\in \{x; (\forall i\in I) i\notin B_i\})
\end{gather*}
Resp. druhý a tretí výrok je asi o čosi prehľadnejši zapísaný takto:
\begin{gather*}
x\in A \land \neg \left((\exists i\in I) i\in B_i\right)\\
x\in A \land (\forall i\in I) i\notin B_i)
\end{gather*}
Keď sa pozriete na tieto zápisy, tak $\land$ tu máme naozaj napísané medzi dvoma výrokmi. Ak je niekde použitá negácia, tak za ňou nasleduje výrok.