\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{\inv{#1}}
\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}(#2)}
\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}
\newcommand{\emps}{\emptyset}
\newcommand{\sm}{\setminus}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}
$
- Ak $A\ne\emps$, nájdite všetky zobrazenia $A\to\emps$ a $\emps\to A$. Existuje zobrazenie z $\emps$ do $\emps$?
- Nech $M$, $N$ sú konečné množiny, $M$ má $m$ prvkov a $N$ má $n$ prvkov. Koľko existuje zobrazení množiny $M$ do množiny $N$?
- Nech $M$, $N$ sú konečné množiny, $M$ má $m$ prvkov a $N$ má $n$ prvkov. Koľko existuje injekcií/bijekcií $M\to N$?
- Nech $A$ je konečná množina a $\Zobr fAA$ je zobrazenie. Dokážte:
a) Ak $f$ je injekcia, tak $f$ je bijekcia.
b) Ak $f$ je surjekcia, tak $f$ je bijekcia.
Ukážte na príklade, že pre nekonečné množiny tieto tvrdenia vo všeobecnosti neplatia.
Ak $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$, tak $\Zobr{g\circ f}XZ$ je definované ako
$$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$
- Pre dané zobrazenia $\Zobr{f,g}{\R}{\R}$ nájdite $f\circ g$ a $g\circ f$. Rovnajú sa tieto zložené zobrazenia?
Vedeli by ste načrtnúť grafy $f$, $g$, $g\circ f$, $f\circ g$?
a) $f(x)=x+1$, $g(x)=x^2$;
b) $f(x)=\sin x$, $g(x)=x^2$;
c) $f(x)=\abs x$, $g(x)=x^2$;
d) $f(x)=\sqrt{\abs{x}}$, $g(x)=x^2$;
e) $f(x)=
\begin{cases}
1-\frac1{1+x} & \text{ak }x\ge0,\\
\frac1{1-x}-1 & \text{ak }x<0.
\end{cases}$,
$g(x)=
\begin{cases}
0 & \text{ak }x\notin(-1,1), \\
\frac1{1-x}-1 & \text{ak }x\in(-1,1), x\ge0, \\
1-\frac1{1+x} & \text{ak }x\in(-1,1), x<0
\end{cases}$ - Pre dané zobrazenia $\Zobr{f,g}{\N}{\N}$ nájdite $f\circ g$ a $g\circ f$. Rovnajú sa tieto zložené zobrazenia?
($\N=\{1,2,3,\dots\}$ označuje množinu prirodzených čísel)
a) $f(n)=2n$, $g(n)=\lceil n/2 \rceil$;
b) $f(n)=n+1$, $g(n)=
\begin{cases}
n-1 & \text{ak }n\ge 2, \\
1 & \text{ak }n=1.
\end{cases}
$
Injekcia, surjekcia, bijekcia
Zobrazenie $\Zobr fXY$ je
- injekcia, ak pre ľubovoľné $x_1,x_2\in X$ z rovnosti $f(x_1)=f(x_2)$ vyplýva $x_1=x_2$.
- surjekcia, ak pre ľubovoľné $y\in Y$ existuje $x\in X$, ktoré sa naň zobrazí.
- bijekcia, ak je injekcia aj surjekcia.
\begin{gather*}
(\forall x_1,x_2\in X) f(x_1)=f(x_2) \Ra x_1=x_2\\
(\forall x_1,x_2\in X) x_1\ne x_2 \Ra f(x_1)\ne f(x_2)
\end{gather*}
- Dokážte: Ak $g \circ f $ je surjekcia, tak aj $g$ je surjekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí byť $f$ surjekcia?
- Dokážte: Ak $g \circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
- Dokážte: Ak $g\circ f$ je bijekcia, tak $f$ je injekcia a $g$ je surjekcia.
- Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie a $X\ne\emps$ (t.j. $X$ je neprázdna množina). Potom
a) $f$ je injekcia práve vtedy, keď existuje $g$ také, že $g \circ f=id_X$.
b) $f$ je surjekcia práve vtedy, keď existuje $h$ také, že $f\circ h = id_Y$.
c) K zobrazeniu $f$ existuje inverzné zobrazenie práve vtedy, keď $f$ je bijekcia. (Tým sme znovu dokázali tvrdenie hovoriace, že zobrazenie je bijektívne práve vtedy, keď k nemu existuje inverzné zobrazenie.) - Nech $\Zobr fXY$, $\Zobr gYX$, $\Zobr hYX$ sú zobrazenia. Ak $g$ aj $h$ sú inverzné zobrazenia k $f$, tak $g=h$.
- Nech $\Zobr fXY$ je surjekcia a $\Zobr{g,h}YZ$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $g\circ f=h\circ f$, tak $g=h$.
- Nech $\Zobr fYZ$ je injekcia a $\Zobr{g,h}XY$ sú zobrazenia. Dokážte, že ak $f\circ g=f\circ h$, tak $g=h$.
- Dokážte: Zobrazenie $\Zobr fXY$ je surjekcia práve vtedy, keď pre každú množinu $Z$ a všetky zobrazenia $\Zobr{g,h}YZ$ platí: Ak $g \circ f= h\circ f$, tak $g=h$.
- Dokážte: Zobrazenie $\Zobr fXY$ je injekcia práve vtedy, keď pre každú množinu $Z$ a všetky zobrazenia $\Zobr{g,h}ZX$ platí: Ak $f \circ g= f\circ h$, tak $g=h$.
- LAG 1, 1.1.19(7): Pre zobrazenia $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ definujme ich súčet ako zobrazenie
$$ f + g:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \qquad (f+g)(x)=f(x) + g(x)$$
a súčin ako zobrazenie
$$ f \cdot g:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \qquad (f\cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x).$$
Je súčet, resp. súčin ľubovoľných dvoch bijekcií zo $\mathbb{Z}$ na $\mathbb{Z}$ znova bijekcia?
- Nájdite príklad zobrazenia $\Zobr fXY$, pre ktoré existuje ľavé inverzné zobrazenie, ale neexistuje pravé inverzné zobrazenie. T.j. existuje $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$, ale neexistuje $\Zobr hYX$ také, že $f\circ h=id_Y$.
- Nájdite príklad zobrazenia $\Zobr fXY$, pre ktoré existuje pravé inverzné zobrazenie, ale neexistuje ľavé inverzné zobrazenie. T.j. existuje$\Zobr hYX$ také, že $f\circ h=id_Y$, ale neexistuje $\Zobr gYX$ také, že $g\circ f=id_X$.
Vzor a obraz množiny${}^*$
K týmto úlohám sa na cvičení pravdepodobne nestihneme dostať, zatiaľ ich môžete ignorovať. (Ale ak vás zaujmú, môžete skúsiť niektoré z nich vyriešiť. Každopádne sa k veciam takéhoto typu neskôr dostanete na predmete 1-MAT-140 Diskrétna matematika (1) -- čiže časom sa ich budete musieť naučiť.)
Pre $\Zobr fXY$ a podmnožiny $A\subseteq X$ a $B\subseteq Y$ označujeme
\begin{align*}
\Obr fA &= \{f(x); x\in A\}\\
\Invobr fB &= \{x\in X; f(x)\in B\}
\end{align*}
Inak povedané:
\begin{gather*}
y\in \Obr fA \Lra (\exists a\in A) y=f(a)\\
x\in\Invobr fB \Lra f(x)\in B
\end{gather*}
- Dokážte: Ak $A\subseteq B$, tak $\Obr fA\subseteq\Obr fB$.
- Dokážte: $\Obr f{A\cup B}=\Obr fA \cup \Obr fB$, $\Invobr f{A\cup B}=\Invobr fA \cup \Invobr fB$.
- Ktoré z nasledujúcich tvrdení platia a ktoré neplatia? Zdôvodnite.
a) $\Obr f{A\cap B}=\Obr fA \cap \Obr fB$
b) $\Obr f{A\cap B} \subset \Obr fA \cap \Obr fB$
c) $\Obr f{A\cap B} \supset \Obr fA \cap \Obr fB$
d) $\Invobr f{A\cap B}=\Invobr fA \cap \Invobr fB$
e) $\Invobr f{A\cap B} \subset \Invobr fA \cap \Invobr fB$
f) $\Invobr f{A\cap B} \supset \Invobr fA \cap \Invobr fB$
g) $\Obr f{\Invobr fB}=B$
h) $\Obr f{\Invobr fB}\subset B$
i) $\Invobr f{\Obr fA} = A$
j) $\Invobr f{\Obr fA} \subset A$
k) $\Obr{g\circ f}A = \Obr g{\Obr fA}$ - Ak $X$ je množina, tak $P(X)$ budeme označovať množinu všetkých jej podmnožín. Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie a $\Zobr g{P(X)}{P(Y)}$ je zobrazenie definované tak, že $g(A)=\Obr fA$ pre ľubovoľnú podmnožinu $A\subseteq X$. Dokážte, že $f$ je prosté práve vtedy, keď $g$ je prosté.
- Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte, že $f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné dve podmnožiny $A,B\subseteq X$ platí $\Obr f{A\cap B}=\Obr fA \cap \Obr fB$.
- Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte, že $f$ je injekcia $\Lra$ pre ľubovoľné dve podmnožiny $A,B\subseteq X$ platí $\Obr f{B\sm A}=\Obr fB \sm \Obr fA$.