Ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch

[Martin Sleziak]

Možno toto je skôr téma na nejaký kurz týkajúci sa matematickej analýzy - ale azda sa oplatí aspoň niečo o takejto báze spomenúť, keďže sa zaoberáme trochu podobnými vecami. (Aj keď mi ich robíme iba pre konečnorozmerné priestory.)
Berte to iba ako stručnú informáciu, že niečo takéto existuje - nás však z viacerých dôvodov zaujíma najmä konečnorozmerný prípad.

Pre (konečnorozmerné) priestory so skalárnym súčinom sme vedeli definovať ortogonálnu bázu, ktorá pozostávala z navzájom kolmých vektorov jednotkovej dĺžky takých, že každý vektor sa pomocou nich dal jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia
$$\vec x=c_1\vec b_1+\dots+c_n\vec b_n=\sum_{i=1}^n c_i\vec b_i.$$

Ak máme priestor so skalárnymi súčinom, tak vlastne máme k dispozícii pojem dĺžky a teda aj vzdialenosti.
$$|\vec x| = \sqrt{\langle \vec x,\vec x\rangle}.$$

Vďaka tomu sa zmysluplne dá definovať, kedy postupnosť $(\vec x_n)$ konverguje k $\vec x$; pozeráme sa na to, či vzdialenosť $\left|\vec x_n-\vec x\right|$ konverguje k nule.
A potom vieme zmysluplne zadefinovať aj súčet radu (pomocou limity čiastočných súčtov) a pýtať sa na to, či sa vektory z $V$ dajú vyjadriť ako
$$\vec x=\sum_{i=1}^\infty c_i\vec b_i,$$
t.j. ako nekonečné lineárne kombinácie.

Dá sa nejako definovať nekonečný súčet aj pre ľubovoľnú množinu: viewtopic.php?t=1906 (T.j. nemusí to byť nutne $\mathbb N$ alebo iná spočítateľná množina.)
Pre naše účely zostaňme pri takomto prípade - aj keď všeobecný pojem ortonormálnej bázy pripúšťa aj nespočítateľný prípad.

Tu poviem iba toľko, že takéto niečo sa dá urobiť aj v nekonečnorozmerných priestoroch. T.j. dá sa ukázať existencia ortonormálneho systému vektorov takého, že všetky vektory z $V$ sa dajú vyjadriť v tvare $\vec x=\sum\limits_{i=1}^\infty c_i\vec b_i$.
Veci fungujú o čosi krajšie, ak navyše máme k dispozícii úplnosť - teda v Hilbertových priestoroch.

Jeden pomerne jednoduchý príklad je priestor $\ell_2$, ktorý sme spomínali inde: viewtopic.php?t=1654
V tomto priestore tvoria ortonormálna báza napríklad postupnosti, ktoré majú na jednom mieste jednotku a inde nuly:
\begin{align*}
e^{(1)}&=(1,0,0,0,\dots,)\\
e^{(2)}&=(0,1,0,0,\dots,)\\
e^{(3)}&=(0,0,1,0,\dots,)\\
&\vdots
\end{align*}