Poznamenám k zadaniu to, že prvá časť vlastne slúžila na to, že ste videli, že $\lambda=-1$ je vlastné číslo - a teda pri hľadaní charakteristického polynómu ste poznali aspoň jeden koreň. (Čiže ak by ste ho vypočítali chybne, tak ste mali k dispozícii takúto informáciu - ktorá vám možno mohla pomôcť odhaliť, že niekde je chyba.)Overte, že $\lambda=-1$ je vlastné číslo danej matice $A$.
Nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ také, že platí $PA\inv P=D$; alebo zdôvodnite, že také matice neexistujú.
$$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 &-1 &-1 \\
0 & 0 &-5 &-2 \\
0 & 0 & 4 & 1
\end{pmatrix}
$$
Skontrolovať, či $\lambda$ je vlastná hodnota môžem napríklad tak, že nájdem $h(A-\lambda I)$ resp. $h((A-\lambda I)^T)$. Ak táto matica nemá plnú hodnosť, ide o vlastnú hodnotu.
Alebo môžem priamo aj skúsiť nájsť vlastné vektory - tento výpočet budem písať nižšie, takže ho nejdem rozoberať na tomto mieste. Spomeniem ale, že napríklad ak som vypočítal, že $(0,0,1,1)$ je vlastný vektor k $-1$, tak to mi napríklad hovorí aj to, že v matici $A-xI$ pomerne jednoducho vyzerá súčet tretieho a štvrtého riadku - takže sa na to dá pozerať ako na možný hint aké úpravy by mohli zjednodušiť výpočet determinantu $\det(A-xI)$.
Výpočet charakteristického polynómu
Tento výpočet je asi vcelku priamočiary, ak si pamätám ako vyzerá determinant blokových matíc s nulovým blokom: viewtopic.php?t=918
$\chi_A(x)=
\begin{vmatrix}
-x & 1 & 1 & 1 \\
1 &-x &-1 &-1 \\
0 & 0 &-5-x&-2 \\
0 & 0 & 4 & 1-x
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
-x & 1 \\
1 &-x
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
-5-x&-2 \\
4 & 1-x
\end{vmatrix}=$ $
(x^2-1)(x^2+4x+3)=$ $
(x-1)(x+1)^2(x+3)$
Ale aj ak si takúto vec nepamätám, spočítať tento determinant by nemuselo byť až také náročné.
Spoiler:
Znovu pridám linku na relevantný topic: viewtopic.php?t=642
Prinajmenšom stopu viem skontrolovať rýchlo - toto je ďalšie miesto, kde v prípade nejakej chyby mám šancu zbadať, že niečo nie je v poriadku.
Pri výpočtoch, ktoré sú uvedené vyššie, vychádza súčet vlastných hodnôt $1+(-1)+(-1)+(-3)=-4$; to súhlasí so stopou matice.
Nájdenie vlastných vektorov
Zistili sme, že $1$, $-3$ a $-1$ sú vlastné čísla, pričom $-1$ je dvojnásobný koreň charakteristického polynómu.
Ak by matica $A$ bola podobná s diagonálnou maticou, tak by táto matica mali na diagonále presne tieto štyri čísla. A k číslu $-1$ by musel existovať dvojrozmerný vlastný podpriestor.
Vlastné vektory k vlastnej hodnote $\lambda$ vieme nájsť riešením homogénnej sústavy s maticou $(A-\lambda I)^T$.
Konkrétne pre $\boxed{\lambda=-1}$ dostaneme
$(A+I)^T=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 &-4 & 4 \\
1 &-1 &-2 & 4
\end{pmatrix}\sim\dots\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
a ako riešenia máme $[(0,0,1,1)]$.
Pomerne ľahko vieme aj skontrolovať, či $(0,0,1,1)$ je skutočne vlastný vektor.
Spoiler:
Analogickým spôsobom by sme vedeli nájsť vlastné vektory aj k ostatným vlastným hodnotám.
Pre $\boxed{\lambda=1}$ máme vlastný vektor $(1,1,0,0)$.
Pre $\boxed{\lambda=-3}$ máme vlastný vektor $(0,0,2,1)$.