Rovnosť $|A|+|B|=|A\cup B|+|A\cap B|$

[Martin Sleziak]

Rozhodnite, či takéto tvrdenie platí. Ak áno, tak ho dokážte. Ak nie, tak nájdite kontrapríklad. $\newcommand{\abs}[1]{|#1|}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand\Zobr[3]{{#1}\colon{#2}\to{#3}}\newcommand\Obr[2]{{#1}[#2]}\newcommand\Zobrto[3]{{#1}\colon{#2}\mapsto{#3}}$

Ak $A$, $B$ sú ľubovoľné množiny, tak platí
$$\abs{A}+\abs{B}=\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}.$$

Mám k tomuto niečo aj v starších topicoch - tie odkryjem až neskôr; mám tam pokope niečo k viacerým úlohám, niektoré z nich ešte neboli zadané.

Riešenie.
Stačí si uvedomiť, že $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)$, $B=(A\cap B)\cup(B\setminus A)$ a $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$.
Keďže tu ide o zjednotenia disjunktných množín, tak platí rovnosť pre kardinality; t.j. $\abs{A}=\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B}$, $\abs{B}=\abs{A\cap B}+\abs{B\setminus A}$ a $\abs{A\cup B}=\abs{A\setminus B}+\abs{A\cap B}+\abs{B\setminus A}$. Teraz už stačí sčítať $\abs{A}$ a $\abs{B}$ a porovnať s tým, čo dostaneme keď sčítame $\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}$.
\begin{align*}
\abs A + \abs B
&=(\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B})+(\abs{B\setminus A}+\abs{A\cap B})\\
&=(\abs{A\cap B}+\abs{A\setminus B}+\abs{B\setminus A})+\abs{A\cap B}\\
&=\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}
\end{align*}
Poznamenám, že v riešení sme využili asociatívnosť sčitovania. (A podľa toho ako ho zapíšeme, možno aj komutatívnosť.)
Tieto dve vlastnosti pre sčitovanie kardinálov asi vidno vcelku ľahko.

Iné riešenie.
Budeme používať $\abs{X}+\abs{Y}=\abs{X\times\{0\} \cup Y\times\{1\}}$.
Teda sa pýtame, či sa rovnajú tieto dve kardinality:
\begin{align*}
\abs{A}+\abs{B}&=\abs{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}\\
\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}&=\abs{(A\cup B)\times\{0\} \cup (A\cap B)\times\{1\}}
\end{align*}
Na to úplne stačí nájsť nejakú bijekciu
$$\Zobr f{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}{(A\cup B)\times\{0\} \cup (A\cap B)\times\{1\}}.$$
Tú môžeme dostať jednoducho tak, že veci z $B\times\{1\}$ budeme zobrazovať podľa toho, či patria alebo nepatria do $(A\cap B)\times\{1\}$.
Teda pre ľubovoľné $a\in A$, $b\in B$ definujeme:
\begin{align*}
f(a,0)&=(a,0)\\
f(b,1)&=
\begin{cases}
(b,0) & \text{ak }b\notin A, \\
(b,1) & \text{ak }b\in A.
\end{cases}
\end{align*}
Tento predpis skutočne dáva zobrazenie medzi danými množinami. (Máme ako obrazy prvky tvaru $(b,1)$ iba pre $b\in A\cap B$.)
A dá sa presvedčiť aj o tom, že to je bijekcia - nemalo by to byť ťažké, nebudem tu rozpisovať detaily.

[Martin Sleziak]

Pozor na rozdiel!$\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$

Je jasné, že človeka môže lákať povedať niečo podobné, ako sme videli pri konečných množinách.

T.j. niečo v tom zmysle, že v $\abs A + \abs B$ sú prvky z $\abs{A\cap B}$ započítané dvakrát, takže keď ich odpočítame, dostaneme
$$\abs{A\cup B}=\abs A+\abs B-\abs{A\cap B}.$$

Rozdiel dvoch kardinálnych čísel sme však nedefinovali. A pridám opäť linku o tom, že definovať zmysluplne rozdiel nekonečných kardinálov je problematické: viewtopic.php?t=1237
(Túto linku som už kedysi dával do pozornosti v súvislosti s tým, čo znamená "dobre definovaná operácia".)

[Martin Sleziak]

Dalšie poznámky a komentáre$\newcommand{\abs}[1]{|#1|}$

Špeciálne prípady
Viacerí ste ukázali aspoň to, že uvedená rovnosť platí v niektorých špeciálnych prípadoch.

• Platí, ak $A\cap B=\emptyset$, teda pre disjunktné množiny. Vtedy máme $|A|+|B|=|A\cup B|=|A\cup B|+0=|A\cup B|+|A\cap B|$.
• Platí pre konečné množiny - vtedy nie je problém s rozdielom, je to vlastne princíp zapojenia a vypojenia v takej podobe, na akú sme zvyknutí.
• Platí ak jedna z daných množín je podmnožina tej druhej. Ak napríklad $B\subseteq A$, tak vlastne máme $A\cup B=A$ a $A\cap B=B$; čiže na oboch stranách rovnosti máme tie isté množiny.

Používanie $a+b=\max\{a,b\}$
Niektorí z vás napísali riešenia, kde ste využívali fakt, že pre $a,b\ge \aleph_0$ platí $a+b=\max\{a,b\}$.
Toto tvrdenie je skutočne pravdivé. (Prinajmenšom ak nemáme žiadne výhrady voči axíóme výberu.)
Ale nedokazovali sme ho. (A dôkaz je výrazne náročnejší, než veci, ktoré budeme robiť na tomto predmete.)
Takže takéto riešenia som nemohol uznať ako správne. (Aj keď beriem, že som mal v zadaní možno jasnejšie špecifikovať, čo sa môže používať a čo nie.)

Pozor na to, s akými množinami pracujeme
Toto som prepísal z jednej z odovzdaných úloh.

$A$, $B$ sú ľubovoľné množiny, potrebujeme z nich vyrobiť disjunktné (aby sme mohli využiť definíciu).
A aby sa zachovala kardinalita, využijem karteziánsky súčin.
\begin{align*}
\abs A&=\abs{A\times\{0\}}\\
\abs B&=\abs{B\times\{1\}}\\
\abs{A\cap B}&=\abs{A\times\{0\}\cap B\times\{1\}}=\abs{\emptyset}=0
\end{align*}
Z definície súčtu kardinálnych čísel dostávame:
$$\abs{A\times\{0\}}+\abs{B\times\{1\}}=\abs{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}.$$

Nie je to správne riešenie - súčet $\abs A+\abs B$ ste porovnávali s $\abs{A\times\{0\}\cup B\times\{1\}}+\abs{A\times\{0\}\cap B\times\{1\}}$.
Ale v skutočnosti by sme ho mali porovnávať s $\abs{A\cup B}+\abs{A\cap B}=\abs{(A\cup B)\times\{0\} \cup (A\cap B)\times\{1\}}$.