Čo to hovorí o kardinalite
Pozrime sa na to, čo by platnosť takýchto tvrdení hovorila o kardinalite. Chceme sa pozrieť najmä na časti b) a d) - či úvahy o počte prvkov by nám pomohli zbadať, že takéto tvrdenia neplatia. (Pri časti d) som takéto niečo stručne spomenul aj vyššie.)
Pre konečné množiny vieme, že platí:
- Ak existuje bijekcia $f\colon X\to Y$, tak $|X|=|Y|$.
- Ak existuje injekcia $f\colon X\to Y$, tak $|X|\le|Y|$.
- Ak existuje surjekcia $f\colon X\to Y$, tak $|X|\ge|Y|$.
Prvé dve tvrdenia poznáme aj pre nekonečné množiny - to pre nás vlastne bola presne definícia rovnosti a nerovnosti pre kardinálne čísla.
Tretím tvrdením sme sa pre nekonečné množiny zatiaľ nezaoberali - spomeniem, že tu nejako do hry vstúpi axióma výberu.
Ale na tomto mieste možno stačí, keď si rozmyslíme, čo sa stane pre konečné množiny.
My sa zaoberáme zobrazeniam $f\colon A\to B$ a $\varphi \colon {C^B}\to {C^A}$; pričom $\varphi$ je definované ako $\varphi(g)=g\circ f.$
Označme si $|A|=a$, $|B|=b$ a $|C|=c$.
A úplne stačí, keď sa pozeráme na prípad, keď ide konečné množiny. T.j. $a$, $b$, $c$ sú prirodzené čísla.
Pozrime sa na to, čo jednotlivé tvrdenia. Najprv na tie dve, ktoré aj platia:
a) Ak $f$ je surjektívne, tak $\varphi$ je injektívne.
Ak platí tvrdenie z časti a) platí, tak to vlastne hovorí, že z $a\ge b$ vyplýva $c^b\le c^a$. Toto je skutočne pravda.
c) Ak $f$ je bijektívne, tak $\varphi$ je bijektívne.
Ak platí tvrdenie z časti c), tak vlastne máme, že z $a=b$ vyplýva $c^b=c^a$.
Asi nás neprekvapí, že sme z týchto tvrdení dostali vlastnosti umocňovania prirodzených čísel (prípadne kardinálnych čísel), ktoré sú naozaj pravdivé.
Pre istotu zdôrazním, že keď sme z a) resp. z c) dostali ako dôsledok pravdivé tvrdenie, to ešte nutne neznamená, že tvrdenia a) a c) naozaj aj platia. Treba ich skutočne aj dokázať. (Aj z nepravdivého tvrdenia môžeme dostať pravdivé; implikácia $1\Rightarrow0$ je pravdivá.)
Zaujímavejšie je pozrieť sa na ostatné dve tvrdenia - už sme videli, že na ne vieme nájsť kontrapríklady. Čo by sme vlastne dostali, ak by tieto tvrdenia boli pravdivé?
b) Ak $f$ je surjektívne, tak $\varphi$ je surjektívne.
Ak by takéto tvrdenie platílo, tak by sme mali $a\ge b\Rightarrow c^b\ge c^a$, resp.
$$b\le a \Rightarrow c^b\ge c^a.$$
Ľahko vidíme, že tvrdenie neplatí. (Dokázali sme, že z $b\le a$ vyplýva $c^b\le c^a$, tu máme presne opačnú nerovnosť. Napríklad $a=c=2$, $b=1$ nám dá kontrapríklad.)
Takže z tohto už vieme prísť na to, že tvrdenie v časti b) neplatí; stačí už nájsť konkrétny príklad zobrazenia $f$.
d) Ak $f$ je injektívne, tak $\varphi$ je injektívne.
Ak by takéto tvdenie platilo, tak by z neho vyplývalo $$a\le b \Rightarrow c^b\le c^a.$$
Opäť, nerovnosť je tu presne naopak "ako má byť". Konkrétne napríklad pre $a=1$ a $b=c=2$ táto implikácia neplatí.
Opäť vidíme, že takéto tvrdenie platiť nemôže. (A keďže to od nás v zadaní chcú pustíme sa do hľadania kontrapríkladu; ale vlastne sme aspoň zistili to, aké veľkosti množín by sa nám pri hľadaní kontrapríkladu mohli hodiť.)