- Ak zobrazenie $f: V \rightarrow W$ je lineárne, tak $\forall \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V$ a $\forall c \in F$ platí $f(c \vec{\alpha} + \vec{\beta}) = cf(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta})$.
Z definície lineárneho zobrazenia.
$f(c \vec{\alpha} + \vec{\beta}) \overset{\mathrm{\text{(i)}}}{=} f(c\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) \overset{\mathrm{\text{(ii)}}}{=} cf(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta})$
- Ak pre zobrazenie $f: V \rightarrow W$ pre $\forall \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V$ a $\forall c \in F$ platí $f(c \vec{\alpha} + \vec{\beta}) = cf(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta})$, tak zobrazenie $f$ je lineárne.
Najprv dokážeme (i) podmienku lineárneho zobrazenia. Ak za $c$ zvolíme neutrálny prvok, dostávame $f(1\cdot \vec{\alpha} + \vec{\beta}) = 1\cdot f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta}) = f(\vec{\alpha}) + f(\vec{\beta})$.
Teraz dokážeme (ii) podmienku. Ak za $\vec{\beta}$ zvolíme $\vec{0}$, dostávame $f(c \cdot \vec{\alpha} + \vec{0}) = c \cdot f(\vec{\alpha}) + f(\vec{0})$. Keďže pre každý vektor platí $\vec{\gamma} \in V$ platí $\vec{0} + \vec{\gamma} = \vec{\gamma}$ a pre zobrazenie $f$ platí $f(\vec{0}) = \vec{0}$, tak $f(c\vec{\alpha} + \vec{0}) = cf(\vec{\alpha}) + f(\vec{0}) = cf(\vec{\alpha}) + \vec{0} = cf(\vec{\alpha})$.
Dôkaz, že $f(\vec{0}) = \vec{0}$:
\begin{align*}
f(\vec{0}) &= f(\vec{0} + \vec{0}) &\overset{\mathrm{\text{(i)}}}{\Rightarrow}\\
f(\vec{0} + \vec{0}) &= f(\vec{0}) + f(\vec{0}) &\Rightarrow\\
f(\vec{0}) - f(\vec{0}) &= f(\vec{0}) + f(\vec{0}) - f(\vec{0}) &\Rightarrow\\
\vec{0} &= f(\vec{0}) + \vec{0} &\Rightarrow\\
f(\vec{0}) &= \vec{0}
\end{align*}