Úloha 3.2.18: $a*(b*c) = (a*c)*b$ je asociatívne a komutatívne

[MatusDuchyna]

Úloha: Nech $*$ je binárna operácia na množine $A$, taká, že pre každé $a, b, c \in A$ platí $a * (b * c) = (a * c) * b$ a $*$ má neutrálny prvok. Dokážte, že operácia $*$ je komutatívna a asociatívna.

Najprv dokážeme, že operácia $*$ je komutatívna.
Ak za $a$ zvolíme neutrálny prvok, tak dostávame $\forall b, c \in A: e*(b*c) = (e*c)*b \Rightarrow (b*c) = (c)*b \Rightarrow b*c = c*b$. $\square$

Teraz dokážeme, že $*$ je asociatívna.
$\forall a, b, c \in A: a * (b * c) = (a * c) * b \Rightarrow a * (b * c) = a * (c * b) = (a*b)*c \Rightarrow a*(b*c) = (a*b)*c \quad \square$

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod