Úloha 5.3.6. Ak $S,T$ sú vpp a $f$ je lin. zobrazenie, potom aj $f[S], f^{-1}(T)$ sú vpp

[alex.diko]

Úloha 5.3.6.
$\text{Nech } f : V \rightarrow W \text{ je lineárne zobrazenie z vektorového priestoru }
V \text{ do vektorového priestoru } W \text{ nad poľom } F. $ $\text{Dokážte: } \text{Ak } S \text{ je podpriestor vektorového priestoru } V, \text{ tak } f[S] = \{f(\vec{\alpha}) ; \vec{\alpha} \in S\} \text{ je podpriestor vektorového priestoru } W. $
$
\text{Ak } T \text{ je podpriestor vektorového priestoru } W, \text{ tak } f^{-1}(T) = \{\vec{\alpha} \in V ; f(\vec{\alpha}) \in T\} \text{ je podpriestor vektorového priestoru } V.
$

a.) $f[S]\subseteq W$, lebo $f : V \rightarrow W$. Najprv dokážme, že $f[S]$ je neprázdne. $\vec0 \in S$ (Poznámka 4.2.2.), teda $f(\vec0)=\vec0 \in f[S]$. (Tvrdenie 5.3.6.). Zoberme ľubovoľné $f(\vec{\alpha}),f(\vec{\beta})\in f[S]$ (JG: trochu lepšie by bolo takto: nech $\vec x, \vec y\in f[S]$, t.j. existujú $\vec{\alpha}, \vec{\beta}\in S$ také, že $f(\vec{\alpha})=\vec x$, $f(\vec{\beta})=\vec y$, prípadne $f(\vec{\alpha}),f(\vec{\beta})\in f[S]$, pre $\vec{\alpha},\vec{\beta} \in S$); $c,d\in F$. Podľa tvrdenia 4.2.7. chceme dokázať, že $cf(\vec{\alpha})+ df(\vec{\beta})\in f[S]$. Keďže $f$ je lineárne zobrazenie, z vety 5.3.5. b) máme $cf(\vec{\alpha})+ df(\vec{\beta})=f(c\vec{\alpha}+d\vec{\beta})$. Keďže však $S$ (JG: bez toho, čo som napísal vyššie neviete, že $\vec{\alpha},\vec{\beta} \in S$, lebo $f(\vec{\alpha})$ môže byť prvkom $f[S]$ aj keď $\vec\alpha$ nie je prvkom $S$ - asi ľahko nájdete taký príklad) je vpp podľa tvrdenia 4.2.7. $c\vec{\alpha}+d\vec{\beta} \in S$. Teda z definície $f[S], f(c\vec{\alpha}+d\vec{\beta}) = cf(\vec{\alpha})+ df(\vec{\beta})\in f[S]$

b.) Z definície je zrejmé, že $f^{-1}(T)\subseteq V$. Ďalej $\vec0 \in V$ a $f(\vec0) = \vec0$, a keďže $T$ je vpp, musí aj $\vec0 \in T$. Teda $\vec0 \in f^{-1}(T)$. Nech $\vec{\alpha},\vec{\beta} \in f^{-1}(T); c,d\in F$. Chceme dokázať, že $c\vec{\alpha}+d\vec{\beta} \in f^{-1}(T)$, teda, že $f(c\vec{\alpha}+d\vec{\beta}) \in T$. Z definície $f^{-1}(T)$ vieme, že $f(\vec{\alpha}), f(\vec{\beta})\in T$. Keďže $T$ je vpp, $cf(\vec{\alpha})+ df(\vec{\beta})\in T$. Keďže $f$ je lineárne zobrazenie, $cf(\vec{\alpha})+
df(\vec{\beta}) = f(c\vec{\alpha}+d\vec{\beta})\in T$. Potom $c\vec{\alpha}+d\vec{\beta} \in f^{-1}(T)$ a podľa tvrdenia 4.2.7. je $f^{-1}(T)$ vpp.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod

tie moje poznámky pre prvý dôkaz sú síce potrebné, ale takto už je to v poriadku