Úloha 5.5.1: $(A^{-1})^{-1} = A$

[MatusDuchyna]

Dokážte, že ak $A, B$ sú regulárne štvorcové matice rovnakých rozmerov nad tým istým poľom $F$, tak platí:
a) $(A^{-1})^{-1} = A$
\begin{align*}
A \cdot A^{-1} = I &\land (A^{-1})^{-1} \cdot (A^{-1}) = I &\Rightarrow \\
A \cdot A^{-1} &= (A^{-1})^{-1} \cdot (A^{-1}) &\Rightarrow \\
(A \cdot A^{-1}) \cdot A &= ((A^{-1})^{-1} \cdot (A^{-1}))\cdot A &\Rightarrow \\
A \cdot (A^{-1} \cdot A) &= (A^{-1})^{-1} \cdot ((A^{-1})\cdot A) &\Rightarrow \\
A \cdot I &= (A^{-1})^{-1} \cdot I &\Rightarrow \\
A &= (A^{-1})^{-1} &\square
\end{align*}

b) $(A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1}$
\begin{align*}
I &= I &\Rightarrow \\
(A\cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} &= A \cdot A^{-1} &\Rightarrow \\
(A\cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} &= (A\cdot I) \cdot A^{-1} &\Rightarrow \\
(A\cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} &= (A\cdot (B \cdot B^{-1})) \cdot A^{-1} &\Rightarrow \\
A\cdot (B \cdot (A \cdot B)^{-1}) &= A\cdot (B \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1})) &\Rightarrow \\
A^{-1} \cdot A\cdot (B \cdot (A \cdot B)^{-1}) &= A^{-1} \cdot A\cdot (B \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1})) &\Rightarrow \\
I\cdot (B \cdot (A \cdot B)^{-1}) &= I\cdot (B \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1})) &\Rightarrow \\
B \cdot (A \cdot B)^{-1} &= B \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) &\Rightarrow \\
B^{-1} \cdot B \cdot (A \cdot B)^{-1} &= B^{-1} \cdot B \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) &\Rightarrow \\
I \cdot (A \cdot B)^{-1} &= I \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) &\Rightarrow \\
(A \cdot B)^{-1} &= B^{-1} \cdot A^{-1} &\square
\end{align*}

JG: Tu je jedna jemnosť, čím sa toto líši od dôkazu pre grupy. V grupe totiž pre každý prvok existuje inverzný, čo dôkaz dosť zjednodušuje.
V skutočnosti ste (trochu zložito, ale korektne) dokázali: Ak existujú $(A\cdot B)^{-1}$, $A^{-1}$ a $B^{-1}$, potom platí rovnosť $(A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1}$.
Váš dôkaz by sa asi dal modifikovať tak, aby bolo vidieť, že ak existujú $A^{-1}$ a $B^{-1}$, tak existuje aj $(A\cdot B)^{-1}$ a platí uvedená rovnosť. (čiže nevyužívať existenciu $(A\cdot B)^{-1}$, ale dokázať ju).
Ale čo asi nedostanete nejakou úplne jednoduchou modifikáciou je: Ak existuje $(A\cdot B)^{-1}$, potom existujú $A^{-1}$ a $B^{-1}$ (a platí uvedná rovnosť). Minimálne toto by som ešte chcel, aby ste dokázali.


c) $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
\begin{align*}
I &= I^T &\Rightarrow \\
(A^T)^{-1}\cdot A^T &= (A \cdot A^{-1})^T &\Rightarrow \\
(A^T)^{-1}\cdot A^T &= (A^{-1})^T \cdot A^T &\Rightarrow \\
((A^T)^{-1}\cdot A^T)\cdot (A^T)^{-1} &= ((A^{-1})^T \cdot A^T)\cdot (A^T)^{-1} &\Rightarrow \\
(A^T)^{-1}\cdot (A^T\cdot (A^T)^{-1}) &= (A^{-1})^T \cdot (A^T\cdot (A^T)^{-1}) &\Rightarrow \\
(A^T)^{-1}\cdot I &= (A^{-1})^T \cdot I &\Rightarrow \\
(A^T)^{-1} &= (A^{-1})^T & \square
\end{align*}

JG: Tu mám podobnú poznámku. Triviálne, ak existuje $A^{-1}$, existuje aj $(A^{-1})^T$. Ale prečo (ako) z existencie $A^{-1}$ vyplýva existencia $(A^T)^{-1}$ (a naopak). Vy priamo predpokladáte existenciu oboch $A^{-1}$ aj $(A^T)^{-1}$ a potom dokážete potrebnú rovnosť.
Myslím, že ten dôkaz stačí trochu preorganizovať a podarí sa to. Ale odporúčam začať rovnice, ktorá neobsahuje operátor transponovania .
Toto by som tiež ešte chcel dokončiť, aby za tú úlohu mohol byť bod.

[jaroslav.gurican]

Pozrite si moje poznámky, prípadne to ešte opravte.

[MatusDuchyna]

Predpokladajme existenciu $A^{-1}$ a $B^{-1}$. Potom
\begin{align*}
A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} &= A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\
A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1} &= (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) &\Rightarrow\\
A \cdot I \cdot A^{-1} &= (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) &\Rightarrow\\
A \cdot A^{-1} &= (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1}) &\Rightarrow\\
I &= (AB) \cdot (B^{-1}A^{-1})
\end{align*}
Potom z definície inverznej matice je $B^{-1}A^{-1}$ inverzná matica k $AB$, čiže $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ $\square$.

Teraz predpokladajme existenciu $(AB)^{-1}$. Potom
\begin{align*}
(AB) \cdot (AB)^{-1} &= (AB) \cdot (AB)^{-1} &\Rightarrow\\
I &= A \cdot B \cdot (AB)^{-1} &\Rightarrow\\
I &= A \cdot (B \cdot (AB)^{-1}) &\Rightarrow\\
\end{align*}
Z definície inverznej matice je $B \cdot (AB)^{-1}$ inverzná matica k $A$, čiže existuje $A^{-1}$ a zároveň pre ňu platí

JG: dokázali ste len rovnicu typu $AX=I$, aby bola $X$ inverzná ku $A$, ešte oficiálne potrebujete aj, že $XA=I$. Minimálne z toho tvaru $X=B \cdot (AB)^{-1}$ to priamo nevidieť. (ale to je vec, ktorá platí, t.j. ak je $A$  štvorcová matica, z rovnice $AX=I$ už vyplýva aj rovnica $XA=I$ - toto si ale treba rozmyslieť)

\begin{align*}
A^{-1} &= B \cdot (AB)^{-1} &\Rightarrow\\
A^{-1} \cdot A &= B \cdot (AB)^{-1} \cdot A &\Rightarrow\\
I &= B \cdot ((AB)^{-1} \cdot A) &\Rightarrow\\
\end{align*}
Znovu z definície inverznej matice je $(AB)^{-1} \cdot A$ inverzná matica k $B$. Takže existuje $B^{-1}$ a zároveň pre ňu platí $B^{-1} = (AB)^{-1}\cdot A$.
Potom
\begin{align*}
A^{-1} &= B \cdot (AB)^{-1} &\quad B^{-1} &= (AB)^{-1}\cdot A &\Rightarrow\\
B^{-1} \cdot A^{-1} &=B^{-1} \cdot B \cdot (AB)^{-1} &\quad B^{-1} \cdot A^{-1} &= (AB)^{-1}\cdot A \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\
B^{-1} \cdot A^{-1} &=I \cdot (AB)^{-1} &\quad B^{-1} \cdot A^{-1} &= (AB)^{-1}\cdot I &\Rightarrow\\
B^{-1} \cdot A^{-1} &=(AB)^{-1} &\quad B^{-1} \cdot A^{-1} &= (AB)^{-1} &\square
\end{align*}

JG: Keď už viete, že existujú $A^{-1}$ a $B^{-1}$, rovnica $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ vyplýva z prvej časti dôkazu.

[MatusDuchyna]

Predpokladajme existenciu $A^{-1}$. Potom
\begin{align*}
A \cdot A^{-1} &= A \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\
I &= A \cdot A^{-1} &\Rightarrow\\
I^T &= (A \cdot A^{-1})^T &\Rightarrow\\
I &= (A^{-1})^T \cdot A^T
\end{align*}
Takže $(A^{-1})^T$ je inverzná matika z $A^T$. Takže $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ $\square$.

JG: Rovnosť $I = A \cdot A^{-1}$ "nevyplýva" z rovnosti $A \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1}$, ale z definície inverznej matice, nie je mi jasné, načo tam ten prvý riadok vôbec je. Tá prvá rovnice je tak trochu zbytočná, skôr by sa hodila "úplná definícia" inverznej matice, teda $A^{-1} \cdot A = I = A \cdot A^{-1}$ a tá druhá časť ($A^{-1} \cdot A = I$) sa potom použije na (podobný) dôkaz, že aj $I = A^T \cdot (A^{-1})^T$.

Teraz predpokladajme existenciu $(A^T)^{-1}$. Potom
\begin{align*}
A^T \cdot (A^T)^{-1} &= A^T \cdot (A^T)^{-1} &\Rightarrow\\
I &= A^T \cdot (A^T)^{-1} &\Rightarrow\\
I^T &= (A^T \cdot (A^T)^{-1})^T &\Rightarrow\\
I &= ((A^T)^{-1})^T \cdot (A^T)^T &\Rightarrow\\
I &= ((A^T)^{-1})^T \cdot A &\Rightarrow\\
A^{-1} &= ((A^T)^{-1})^T &\Rightarrow\\
(A^{-1})^T &= (((A^T)^{-1})^T)^T &\Rightarrow\\
(A^{-1})^T &= (A^T)^{-1} &\square
\end{align*}

JG: prechod (implikácia) z prvého riadka do druhého má tiež podobný "problém" ako v prvej časti.
Mohli ste postupovať aj inak:
Predpokladajme existenciu $(A^T)^{-1}$. Označme $B=A^T$. Podľa časti 1, ak existuje $B^{-1}$, existuje aj $(B^T)^{-1}$, t.j. $((A^T)^T)^{-1}$ , t.j. $A^{-1}$. Potom už (opäť podľa prvej časti) platí rovnosť $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

[jaroslav.gurican]

OK, 1 bod