Úloha 1.2.9. Určuje predpis $\langle A,B \rangle$ = Tr$(AB^T)$ skalárny súčin?

[alex.diko]

$\newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle} \newcommand{\suma}[1]{\sum_{#1 = 1}^{n}} \newcommand{\velk}[1]{\lvert\lvert#1\rvert\rvert} \newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}}$

Úloha 1.2.9. Pre štvorcovú maticu typu $n\times n$ definujeme stopu matice ako súčet jej diagonálnych prvkov, t.j. Tr$(A)=\suma{i}a_{ii}$. Overte, či na vektorovom priestore $M_{n,n}(\mathbb{R} ) $ určuje predpis $\skal{A}{B}$ = Tr$(AB^T)$ skalárny súčin.

V celom riešení budem predpokladať, že všetky matice sú typu $n\times n$
Nech $A=\velk{a_{ij}}, B=\velk{b_{ij}},
B^T=\velk{b'_{ij}}=\velk{b_{ji}}, C=\velk{c_{ij}},
AB^T=\velk{d_{ij}}$
Najprv si vyjadrím $\skal{A}{B}$ pomocou prvkov matíc.
$\skal{A}{B}=$Tr$(AB^T)=\suma{i} d_{ii}=\suma{i}\suma{t}a_{it}{b'_{ti}}=
\suma{i}\suma{t}a_{it}{b_{it}}$ (použil som definíciu súčinu matice $A$ a $B^T$)

Overenie vlastností skalárneho súčinu
i.) symetrickosť
$\skal{B}{A} = \suma{i}\suma{t}b_{it}a_{it} = \suma{i}\suma{t}a_{it}b_{it}=\skal{A}{B}$

ii.), iii.) bilineárnosť
$\skal{A+B}{C} = \suma{i}\suma{t}(a_{it}+b_{it})c_{it} = \suma{i}\suma{t}a_{it}c_{it}+
b_{it}c_{it} = \suma{i}\suma{t}a_{it}c_{it} + \suma{i}\suma{t}b_{it}c_{it} = \skal{A}{C}+
\skal{B}{C}$

$\skal{cA}{B} = \suma{i}\suma{t}(ca_{it})b_{it} = c\suma{i}\suma{t}a_{it}b_{it}
= c\skal{A}{B}$

iv.) kladná definitnosť
$\skal{A}{A}=\suma{i}\suma{t}a_{it}a_{it}=\suma{i}\suma{t}a_{it}^2 $ - toto je vlastne súčet druhých mocníc všetkých prvkov matice $A$.
Je zrejmé, že $\skal{A}{A} \geq 0$. Zároveň, ak $A\neq 0\Rightarrow(\exists a_{it})a_{it}\neq 0
\Rightarrow a_{it}^2 > 0 \Rightarrow \skal{A}{A} > 0$

Týmto som overil, že predpis je skalárny súčin. Všimnime si zároveň, že ak by sme si maticu $A\in M_{n,n}(\mathbb{R} ) $ predstavili ako vektor $\vekalf\in R^{n\cdot n}$, kde $a_{ij}=\vekalf_{(i-1)\cdot n + j}$ predpis zodpovedá štandardnému skalárnemu súčinu.