Opäť pripomeniem, že nejaké ukážky výpočtu ortonormálnej (resp. ortogonálnej) bázy sa dajú nájsť v poznámkach k prednáške a aj na fóre: viewtopic.php?t=852
Pracujeme v $\mathbb R^5$ so štandardným skalárnym súčinom. Nájdite ortonormálnu bázu pre $S$ a $S^\bot$, kde $S$ je podpriestor zadaný danou sústavou rovníc.
\begin{align*}
x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=0\\
x_2+x_3+x_4&=0\\
x_1-3x_2-2x_3+x_5&=0
\end{align*}
Podpriestor $S$ tu máme zadaný pomocou homogénnej sústavy:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-3 &-2 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Môžeme si uvedomiť, že riadky matice sústavy generujú bázu pre $S^\bot$. A v tomto príklad sú lineárne nezávislé, takže je to báza pre $S^\bot$. Dokonca nám tu vyšla veľmi pekná báza, kde jeden z vektorov je kolmý na ostatné dva.
Z upravenej sústavy vidíme, že $\dim(S^\bot)=3$. Mali by sme teda mať $\dim(S)=2$.
Báza pre $S^\bot$.
Máme takúto bázu pre $S^\bot$:
\begin{align*}
\vec\alpha_1&=(1,0,1,0,1)\\
\vec\alpha_2&=(0,1,1,0,0)\\
\vec\alpha_3&=(0,0,0,1,0)
\end{align*}
Ak použijeme Gram-Schmidtov proces na tieto tri vektory, tak dostaneme
\begin{align*}
\vec\beta_2&=\vec\alpha_2-\frac13\vec\alpha_1=\frac13(-1,3,2,0,-1).
\end{align*}
V poslednom kroku vlastne dostaneme iba $\vec\gamma_3=\vec\alpha_3$, pretože vektor $\vec\alpha_3$ už je kolmý na predošlé dva.
Po vynormovaní dostávame
\begin{align*}
\vec\beta_1&=\frac1{\sqrt3}(1,0,1,0,1)\\
\vec\beta_2&=\frac1{\sqrt{15}}(-1,3,2,0,-1)\\
\vec\beta_3&=(0,0,0,1,0)
\end{align*}
Iba poznamenám, že keby sme ten istý algoritmus použili na tieto vektory ale usporiadané v obrátenom poradí, dostali by sme:
\begin{align*}
\vec\beta_1&=(0,0,0,1,0)\\
\vec\beta_2&=\frac1{\sqrt2}(0,1,1,0,0)\\
\vec\beta_3&=\frac1{\sqrt{10}}(2,-1,1,0,2)
\end{align*}
Báza pre $S$.
Tu môžeme vyskúšať postup pomocou sústav. (Keďže podpriestor $S$ bol priamo zadaný sústavou.)
Vieme štandardným spôsobom vyčítať z upravenej sústavy, že ako vyzerá báza priestoru riešení: $S=[(1,1,-1,0,0),(1,0,0,0,-1)]$
Zoberme si ako jeden z bázových vektorov trebárs $(1,0,0,0,-1)$.
Teraz by sme chceli ďalší vektor, ktorý patrí do $S$ a je kolmý na tento vektor. To nám dá podmienky
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)$$
Spoiler:
\begin{align*}
\vec\beta_4&=\frac1{\sqrt2}(1,0,0,0,-1)\\
\vec\beta_5&=\frac1{\sqrt{10}}(1,2,-2,0,1)
\end{align*}
Často sa vyskytujúce chyby
Ak nerátame nejaké numerické chyby, tak vo viacerých riešeniach sa vyskytlo to, že ste vypočítali bázu $S$ a prehlásili ju za bázu $S^\bot$ a obrátene.
Čo sa týka numerických chýb, tak poznamenám, že si veľmi ľahko viete skontrolovať aspoň to, či sú vaše vektory navzájom kolmé.
Takisto to, či nejaký vektor patrí do $S$ sa dá ľahko overiť dosadením do sústavy.
Takýmito kontrolami by sa dali odhaliť viaceré z chýb, ktoré boli v niektorých riešeniach.