Prednášky LS 2023/24 - teória čísel

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1931
viewtopic.php?t=1771
viewtopic.php?t=1491
viewtopic.php?t=1400
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416
(Keďže tento semester si zapísali tento predmet študenti mimo odboru matematika, tak možno trochu zmeníme čo budeme preberať oproti tomu, ako je to zvyčajne.)

[Martin Sleziak]

1. týždeň semestra prednáška nebola.

1. prednáška (1.3.):
Asymptotická hustota. Definícia asymptotickej hustoty. , základne vlastnosti: Konečná aditívnosť, monotónnosť, doplnky.
Popritom sme aj pripomenuli niektoré veci o limes superior a limes inferior.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (8.3.):
Asymptotická hustota.
Rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu.
Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Pripomenul som, že na teórii čísel 1 sme sa stretli s tým, že platí $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$, čo vlastne znamená $d(\mathbb P)=0$.
Vlastne to súviselo s $\liminf \varphi(n)/n=0$, spomenuli sme aj $\limsup \varphi(n)/n=1$

A pomocou Eulerovej funkcie sme odvodili aj to, že $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$. (Túto vec vieme odvodiť napr. aj z Čebyševovej nerovnosti alebo z prvočíselnej vety. Argument, ktorý sme videli, sa dá nájsť v texte na konci podkapitoly 5.1.)
Súčasne sme ukázali pomocné tvrdenie o nekonečnom súčine: Zo $\sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty.$ vyplýva $\prod_{k=1}^\infty (1-a_k)=0.$
V podstate sme takto odvodili aj to, že $\liminf_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=1$; aj keď túto vec som iba spomenul - hlavne pre tých, ktorí poznajú pojem limes superior a limes inferior.

Ukázali sme si vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$; ale jednoduchšiu verziu, kde používame $A_p=\{n\in A; p\mid n\}$. (V texte na stránke sa dá nájsť dôkaz analogickej vety pre $A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}$.)
Ukázali sme, že množina čísel, ktoré majú nanajvýš $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu nula.
Pomocou toho sme dostali, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient. (A aj to, že takých čísel existuje v istom zmysle "veľa". Napríklad aj to, že určite existujú párne čísla s touto vlastnosťou.)
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856

[Martin Sleziak]

3. prednáška (15.3.)
Logaritmická hustota.
Chvíľu sme sa rozprávali o harmonických číslach a Eulerovej konštante.
Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si nerovnosti medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou.
Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.

Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.
Takisto som preskočil aj štatistickú konvergenciu - k nej sa vrátime na konci semestra, ak na to zvýši čas.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (5.4.)
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (12.4.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ, ireducibilné prvky). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. Fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu.
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. Zadefinovali sme $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$, t.j. gaussovské a eisensteinovské celé čísla. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Ešte sme videli, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (26.4.)

Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$ v $\mathbb Z$. (Resp. netriviálnych riešení $x^3+y^3=uz^3$ v $\mathbb Z[\omega]$, kde $u$ je nejaký deliteľ jednotky.)

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)