Úloha 2.3.4. - Nech $A=||a_{ij}||$, kde $a_{ij} = \langle\vec{\alpha}_i, \vec{\alpha}_j\rangle$. Dokážte, že $|A|\geq0$

[alex.diko]

$\newcommand{\vekalf}{\vec{\alpha}} \newcommand{\vekgam}{\vec{\gamma}} \newcommand{\skal}[2]{\left\langle #1, #2\right\rangle}$
Úloha 2.3.4. Nech $V$ je euklidovský vektorový priestor a $\vekalf_1, \ldots, \vekalf_n \in V$. Definujme maticu $A=||a_{ij}||$ tak, že $a_{ij}=\skal{\vekalf_i}{\vekalf_j}$. (Táto matica sa zvykne volať Gramova matica.) Dokážte, že $|A|\geq0$ a že tieto vektory sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď $|A| > 0$.

Označme $S=[\vekalf_1, \ldots, \vekalf_n]$. Keďže $S$ je podpriestor $V$, je to tiež euklidovský vektorový priestor. Keďže $S$ je konečnorozmerný, má ortonormálnu bázu. Označme ju $\vekgam_1,\ldots,\vekgam_m$, kde $m\leq n$. Nech $\vekalf_i = c_{i1}\vekgam_1\ldots c_{im}\vekgam_m.$ Z príkladu 1.2.3. z poznámok vieme, že $\skal{\vekalf_i}{\vekalf_j}= \sum_{t = 1}^{m}c_{it}c_{jt}$. Zadefinujme maticu $B = ||b_{ij}||$ rozmerov $n\times n$, kde $b_{ij} = c_{ij}$ ak $j \leq m$, inač $b_{ij} = 0$. Nech $B^T=||b'_{ij}||=||b_{ji}||.$ Zoberme si maticu $BB^T = ||d_{ij}||$. Z definície súčinu matíc $d_{ij} = \sum_{t=1}^n b_{it}b'_{tj} = \sum_{t=1}^n b_{it}b_{jt}= \sum_{t = 1}^{m}c_{it}c_{jt} $ (keďže $m\leq n$, zvyšné súčiny budú $0\cdot0$) $=\skal{\vekalf_i}{ \vekalf_j}$. Teda $BB^T=A$. Potom $|A|=|BB^T|=|B|\cdot|B^T|=|B|\cdot|B| = |B|^2 \geq 0$

Ak $\vekalf_1,\ldots,\vekalf_n$ sú lineárne nezávislé, potom tvoria bázu $S$ a $m=n$. Všimnime si, že matica $B$ je matica prechodu od bázy $\vekgam_1,\ldots,\vekgam_m$ k báze $\vekalf_1,\ldots,\vekalf_n$. Vieme, že matica prechodu je regulárna. Potom $|B|\neq0$ a $|A| = |B|^2 > 0$

Ak $\vekalf_1,\ldots,\vekalf_n$ nie sú lineárne nezávislé, potom $m = d(S) < n$. Z definície matice $B$ potom bude existovať stĺpec, v ktorom sú samé nuly. Potom $|B|=0$ a $|A|=0$.