Priklady na precvicenie

[Jana Stolcova]

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$Ahojte, ako som slubila tu je par prikladov na veci, ktore sa mozu objavit na prvej pisomke. (K niektorym su aj vysledky - snad spravne:), nejake komplikovane postupy sa mi nechcelo pisat, takze podal potreby. Ak si s niecim nebudete vediet dat rady, ozvite sa.

1.1.Nech $G$ je množina vetkých funkcií $f_{a,b} : \R \rightarrow \R$, ktoré sú tvaru $f_{a,b}(x) = ax+b$
pre nejaké reálne čísla $a, b \in \R$. Tvorí táto množina funkcií s operáciou skladania grupu? Je
množina $\{f_{a,b}; a, b \in \R, a \neq 0 \}$ s operáciou skladania zobrazení grupa? Dostaneme grupu, ak
vezmeme len také $a, b \in \R$, že $a = 1$? V tých prípadoch, keď dostaneme grupu, je táto grupa
komutatívna?



1.2. Ak $(G, \circ)$ je grupa a $a \in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a : G \rightarrow G$
definované ako $f_a(b) = a \circ b$ je bijekcia. Dokáž.



1.3.Zistite, či $(\R^+ \times \R, \ast)$, kde pre každé
$(a, b),(c, d) \in{\R^+\times \R}$ :$(a, b)\ast(c, d) =(2ac, b + d)$
je grupa.



2.1. Faktorizujte grupu G podľa podgrupy H (ak je to možné). Je táto faktorova grupa izomorfná s nejakou známou grupou?

a)$G = (\Z; +)$, $H = 4\Z = \{4z; z \in\Z\}$

b)$ G = (\Z_4 \times \Z_6; +)$, $H = \{(2; 2)\}$

c) $G=(\Z_2 \times \Z_3; +)$ , $H=(\Z_2\times\{{0}\})$




3.1.Ktoré z uvedených množín tvoria spolu s obvyklým sčitovaním a násobením
pole?

a) $F = \{a + ib; a \in\R, b\in\R, b \geq 0\}$

b) $F = \{a + ib; a \in \Q, b\in \Q \}$

c) $F = \{a + ib; a \in \Z, b\in \Z\}$

d) $F = \{a + b\sqrt{5}; a\in \Q, b\in \Q\}$

e) $F = \{a +\sqrt{3}ib; a\in \Q, \in \Q\}$

f) $F = \{a + {b\over\sqrt{2}}; a\in \Q, b\in \Q\}$

Vysledky: a) Nie.
b) Áno.
c) Nie.
d,e,f) Áno.

4.1.Ktoré z týchto množín tvoria vektorový podpriestor priestoru $\R^3$?

a) $M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3; x_1 \in \Z\}$

b) $M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3; x_1 = 0\}$

c) $M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3; x_1= 0 \vee x_2 = 0\}$

d) $M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3; 3x_1 + 4x_2 = 1\}$

e)$M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3;7x_1 - x_2 = 0\}$

f) $M = \{(x_1, x_2, x_3) \in \R^3; |x_1| = |x_2|\}$

Vysledky: b), e) sú vekt. podpriestory.



4.2. Ktoré z týchto podmnožín tvoria vektorový podpriestor priestoru reálnych
funkcií?

a) funkcie $f : \R\rightarrow\R$ s vlastnosťou $2f(0) = f(1)$

b) nezáporné funkcie

c) funkcie $f : \R\rightarrow\R$ s vlastnosťou $f(1) = 1 + f(0)$

d) ohraničené funkcie $f : \R\rightarrow\R$

e) spojité funkcie $f : \R\rightarrow\R$



5.1. Zistite, či dané vektory sú lineárne závislé v príslušnom vektorovom priestore:

a) $(1,2,3), (1,3,2), (2,1,5) \in \R^3$

b) $(1,2,3), (1,3,2), (2,1,5), (1,127,3) \in \R^3$

c) $(1,3,4), (2,1,3), (3,1,4) \in {\Z^3}_5$

d) $(1,3,4), (2,1,3), (3,1,4) \in {\Z^3}_7$



5.2. Riešte sútavu rovníc nad poľom $\R$:

a)

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 + x_2 + x_3 = 4$

$x_2 + x_3 + x_4 = -3$

$x_3 + x_4 + x_5 = 2$

$x_4 + x_5 = -1$

b)

$3x_1 -2x_2 +5x_3 +x_4 = 3$

$2x_1 -3x_2 +x_3 +5x_4 = -3$

$x_1 +2x_2 -4x_4 = -3$

$x_1 -x_2 -4x_3 +9x_4 = 22$