Prirodzená otázka je, či by sme mohli nahradiť spočítateľnú množinu množinou miery nula.Theorem Let $F\colon [a,b]\to R$ be differentiable except perhaps at countably many points of $[a,b]$. Let $G\colon [a,b]\to R$ be such that $G(x)=F'(x)$ when $F$ is differentiable at $x$. If $F$ is continuous, then $G$ is gauge integrable over $[a,b]$ with $\int_a^b G = F(b)-F(a)$.
Nejakú príbuznú vetu sme našli napríklad v článku Brian S. Thomson: Henstock-Kurzweil integrals on time scales v Theorem 7. A určite sa dá nájsť na veľa miestach - toto bol jeden z prvých výsledkov pri hľadaní kurzweil henstock integral "null set".
Je tam uvedená bez dôkazu, článok sa odkazuje na: Alan Smithee: The Integral Calculus, Published and available for download on the website http://www.classicalrealanalysis.com (2007).
Mne sa to na tejto stránke nepodarilo nájsť, ale zdá sa, že rôzne verzie toho textu sa dajú nájsť na internete. Tiež sa dá nájsť Fundamental program of the calculus od toho istého "autora".
Alan Smithee je očividne pseudonym pre kolektív autorov. Zdá sa (aspoň po zbežnom pozretí), že oba texty budujú integrál tak, že preferujú Kurzweilov-Henstockov integrál a začínajú Newtonovým integrálom.
V súvislosti s našou otázkou je zaujímavá táto veta (ktorú označujú ako "Descriptive characterization of the integral"):
Skúsim sem skopírovať aj definície, ktoré sú relevantné pre túto vetu:Theorem. Let $f$ be a function defined on a compact interval $[a,b]$. Then $f$ is integrable on $[a,b]$ if and only if there exists a function $F$ and a set $N$ such that
(a) $F$ is continuous on $[a,b]$,
(b) $N$ is negligible,
(c) $F$ does not grow on $N$,
(d) $F'(x) = f(x)$ at every point in $(a,b)$ with the exception possibly of points in $N$.
In that case $F$ is an indefinite integral of $f$ on $[a,b]$ and $$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = F(b)-F(a).$$
A covering relation is simply a collection $\beta$ of interval-point pairs $([c,d],x)$ where $[c,d]$ is a compact interval and $x$ some point belonging to $[c,d]$.
Definition. A covering relation $\beta$ is full at a point $x_0$ if there exists $\delta>0$ so that $\beta$ contains all pairs $([c,d],x_0)$ such for which $c\le x_0 \le d$ and $0<d-c<\delta$.
Definition. A covering relation $\beta$ is full cover of a set $E$ if $\beta$ is full at each point $x_0$ belonging to the set $E$.
Definition. A function $F\colon\mathbb R\to\mathbb R$ is said not to grow on a set $E$ if for every $\varepsilon>0$ there can be found a full cover $\beta$ of that set $E$ so that
$$\sum_{i=1}^n | \Delta F([a_i,b_i])| = \sum_{i=1}^n |F(b_i)-F(a_i)| <\varepsilon$$
whenever the subpartition
$$\gamma=\{([a_i,b_i],x_i); i=1,2,\dots,n\}$$
is chosen from $\beta$.