Jordanov tvar, minimálny polynóm

[Martin Sleziak]

Na fóre je vyriešených viacero úloh, kde je vypočítaný Jordanov tvar:
viewtopic.php?t=655
viewtopic.php?t=656
viewtopic.php?t=919

Nebudem tu teda písať detailné riešenia - napíšem len niečo k postupu a potom výsledky. (Ale samozrejme ak by ste mali nejaké otázky, tak sem napíšte a budem sa snažiť odpovedať.)

Jordanov tvar

Stačilo nájsť vlastné čísla - vo všetkých skupinách to vyšlo tak, že charakteristický polynóm mal štvornásobný koreň, v niektorých skupinách to bolo $1$, v niektorých $-1$.

Pri výpočte charakteristického polynómu sa hodilo spomenúť si na to, že pre determinanty blokových matíc platí
$$\begin{vmatrix} A&B\\ 0&C\end{vmatrix}=|A|\cdot|C|.$$
viewtopic.php?t=918

Potom stačilo vyrátať $h(A-\lambda I)$ a $h(A-\lambda I)^2$.

Vieme, že $4-h(A-\lambda I)$ určuje počet blokov. (Presnejšie povedané počet blokov prislúchajúcich k vlastnému číslu $\lambda$; v tomto prípade však máme iba jedno vlastné číslo.)
Vo všetkých skupinách mal Jordanov tvar dva bloky.

A $h(A-\lambda I)-h((A-\lambda I)^2)$ nám povie, koľko blokov je veľkosti aspoň $2$.
Na základe toho už vieme zistiť, či Jordanov tvar má dva bloky veľkosti $2$ alebo jeden blok veľkosti $3$ a jeden blok veľkosti $1$.

Minimálny polynóm

Vieme, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657
Takže sa nám stačí pozrieť na to, ako vyzerá minimálny polynóm Jordanovho tvaru, čo nie je ťažké zistiť.

Konkrétne ak
$$J=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} \qquad\text{a}\qquad
J-\lambda I=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
tak nám stačí vypočítať
$$(J-\lambda I)^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
a vidíme, že $m_A(x)=m_J(x)=(x-1)^2$.

Podobne pre
$$J=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix} \qquad\text{a}\qquad
J-\lambda I=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
môžeme vypočítať
$$(J-\lambda I)^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
(J-\lambda I)^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
a vidíme, že $m_A(x)=m_J(x)=(x-1)^3$.

Takisto sa to dá o minimálnom polynóme zistiť niečo z toho, čo sme počítali pri zisťovaní počtu blokov (a blokov veľkosti aspoň dva).
Konkrétne vieme, že minimálny polynóm delí $\chi_A(x)=(x-\lambda)^4$.
Zistili sme, že $A-\lambda I\ne 0$, takže nemôže to byť polynóm $x-\lambda$.
Ak sme dostali $(A-\lambda I)^2=0$, tak hneď vidíme, že $m_A(x)=(x-\lambda)^2$.

Ak $(A-\lambda I)^2\ne0$, tak musí byť stupňa aspoň $3$. Môžeme skúsiť ešte vypočítať aj $(A-\lambda I)^3$, pri tom sa presvedčíme, že vyjde nulová matica a máme $m_A(x)=(x-\lambda)^3$.
Alebo ak sme už zistili, že Jordanov tvar má práve jeden blok veľkosti $3$, tak vieme že $h((A-\lambda I)^2)-h((A-\lambda I)^3)=1$, čo nám dáva, že $h((A-\lambda I)^3)=0$ a $(A-\lambda I)^3=0$.

Inak povedané, ak už vieme že $\chi_A(x)=(x-\lambda)^4$, tak všetky možnosti na minimálny polynóm sú $x-\lambda$, $(x-\lambda)^2$, $(x-\lambda)^3$, $(x-\lambda)^4$.

Takže ak počítame mocniny $A-\lambda$, $(A-\lambda I)^2$, $(A-\lambda I)^3$, $(A-\lambda I)^4$ až kým nedostaneme nulovú maticu. A tým sme zistili minimálny polynóm.


Výsledky

$$\begin{array}{ccc}
A=
\begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 4 \\
-3 &-2 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 &-1 &-1
\end{pmatrix} &
J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
m_A(x)=(x-1)^3
\\
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2 & 4 \\
-3 &-4 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 &-1 &-3
\end{pmatrix} &
J=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1
\end{pmatrix}
& m_A=(x+1)^3
\\
A=
\begin{pmatrix}
4 & 3 & 1 & 2 \\
-3 &-2 &-1 &-2 \\
0 & 0 & 3 & 4 \\
0 & 0 &-1 &-1
\end{pmatrix} &
J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} &
m_A(x)=(x-1)^2
\end{array}$$

[Martin Sleziak]

Komentáre k riešeniam z písomiek, chyby ktoré sa vyskytovali

Niektorí z vás tvrdili, že pre determinanty blokových matíc platí
$$\begin{vmatrix} A&B\\ C&D\end{vmatrix}=|A|\cdot|D|-|B|\cdot|C|.$$
Toto nie je pravda: viewtopic.php?t=918
Ak však je jeden z blokov $B$, $C$ nulový, tak to funguje - čo bol prípad, ktorý nám stačil.

Niekto z vás z danej matice vytvoril kvadratickú formu a potom hľadal kanonický tvar.
Hľadanie kanonického a Jordanovho tvaru sú úplne odlišné problémy - v jednom ide o podobnosť $PAP^{-1}=J$, v druhom ide o kongruentné matice $PAP^T=D$. (Kongruenciu sme navyše definovali iba pre symetrické matice.)

Ak chcete využiť to, čo nám rozdiel $h(A-\lambda I)-h((A-\lambda I)^2)$ hovorí o Jordanových blokoch k $\lambda$, tak treba naozaj počítať s maticou $A-\lambda I$ a umocňovať túto maticu. Nemôžete namiesto nej zobrať nejakú inú, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná. (Napríklad tú, ktorá vám vyšla pri výpočte hodnosti $A-\lambda I$; čo je presne chyba, ktorú ste niektorí z vás urobili.)

Veľa z vás napísalo nesprávny výsledok pre minimálny polynóm. (Neviem, či problémom je, že nie je jasná definícia minimálneho polynómu alebo niečo iné.) Práve preto som vyššie napísal pomerne detailný komentár k minimálnym polynómom.