Zloženie metriky s funkciou

[Martin Sleziak]

Minule na seminári nejako vznikla otázka, či majú dve metriky s ktorými sme tam robili rovnaké konvergentné resp. cauchyovské postupnosti.

To je určite splnené ak existujú konštanty $A$, $B$ také, že pre ľubovoľné $x$, $y$ platí
$$A d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le B d_1(x,y).$$
To však pre tie metriky, s ktorými sme robili, neplatilo.

V našom prípade si však úplne stačí uvedomiť, že pre konvergenciu (cauchyovskosť) nám tieto nerovnosti stačia pre prípady, že body sú dosť blízke. T.j. stačí nám vyžadovať existenciu konštanty $B$ a $\varepsilon>0$ takého, že
$$d_2(x,y) \le Bd_1(x,y)$$
platí pre $d_1(x,y)<\varepsilon$.
A rovnakú podmienku v prípade, že si $d_1$ a $d_2$ vymenia úlohy.

Špeciálne ak máme metriky takú, že
$$d_2(x,y) = \varphi(d_1(x,y)),$$
kde $\varphi \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ je nejaká spojito diferencovateľná funkcia, tak nám úplne postačí ak derivácia $\varphi'(0)$ je konečná a kladná.

Ešte na to, aby funkcia $\varphi{d_1(x,y)}$ bola metrika, nám stačí, ak $\varphi(0)=0$, $\varphi$ je rastúca a subaditívna. (A subaditivitu ľahko dostaneme z konkávnosti.)

* Is there a continuous, strictly increasing function $f: [0,\infty)\to [0,\infty)$ with $f(0) = 0$ such that $\tilde d = f\circ d$ is not a metric?
* Conditions for defining new metrics
* How do you prove triangle inequality for this metric?

Špeciálne to určite platí ak $\varphi(x)=\frac{x}{1+x}$ alebo $\varphi(x)=\min\{1,x\}$.

Funkcia $\varphi(x)=\frac{x}{1+x}$ je akurát tá, čo sa použila v situácii, na ktorú sme nerazili.
(Aby som bol úplne presný, tie dve metriky neboli definované priamo tak, že $d_2=\varphi \circ d_1$, ale snáď je pomerne jasné, že tam bola situácia veľmi podobná.)

[Martin Sleziak]

A v tejto súvislosti sa vcelku prirodzené núka otázka, čo sa vie o funkciách $\varphi \colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ takých, že pre ľubovoľnú metrik $d$ je $\varphi(d(x,y))$ opäť metrika.

Zdá sa, že takéto funkcie sa študovali pod názvom metric preserving function (Google Scholar, Google Books). Ja sem dám linku aspoň na text J. Doboš: Metric Preserving Functions.