Schauderova báza
Posted: Fri Oct 27, 2017 2:58 pm
Keď už na to nejako prišla reč, tak spomeniem nejaké základné veci o Schauderovej báze.
Reč na to prišla v súvislosti s Hamelovou bázou. Časom sa dostaneme k tomu, že dokážeme, že pre ľubovoľný vektorový priestor existuje takáto báza. Je to nejaká podmnožina $B\subseteq V$ taká, že každý vektor z $V$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako konečná lineárna kombinácia prvkov z $B$. Pokiaľ sme vo vektorovom priestore a nemá k dispozícii nič navyše, tak vlastne ani nevieme hovoriť o nekonečnej lineárnej kombinácii. Ale ak máme okrem štruktúry vektorového priestoru aj niečo navyše - niečo čo nám umožní hovoriť o konvergencii (napríklad topológiu, metriku, normu) - tak má zmysel aspoň pýtať sa otázku, či by sme mohli mať nejaké vektory $b_1,b_2,\ldots$ také, že každý vektor $x\in X$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako $x=\sum\limits_{i=1}^\infty c_ib_i$.
Aby sme veci zbytočne nekomplikovali, tak sa rozprávajme len o Banachových priestoroch. Nazvime postupnosť vektorov, ktorá spĺňa takéto veci, Schauderova báza.
Pár pozorovaní, ktoré nie sú príliš ťažké:
Reč na to prišla v súvislosti s Hamelovou bázou. Časom sa dostaneme k tomu, že dokážeme, že pre ľubovoľný vektorový priestor existuje takáto báza. Je to nejaká podmnožina $B\subseteq V$ taká, že každý vektor z $V$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako konečná lineárna kombinácia prvkov z $B$. Pokiaľ sme vo vektorovom priestore a nemá k dispozícii nič navyše, tak vlastne ani nevieme hovoriť o nekonečnej lineárnej kombinácii. Ale ak máme okrem štruktúry vektorového priestoru aj niečo navyše - niečo čo nám umožní hovoriť o konvergencii (napríklad topológiu, metriku, normu) - tak má zmysel aspoň pýtať sa otázku, či by sme mohli mať nejaké vektory $b_1,b_2,\ldots$ také, že každý vektor $x\in X$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako $x=\sum\limits_{i=1}^\infty c_ib_i$.
Aby sme veci zbytočne nekomplikovali, tak sa rozprávajme len o Banachových priestoroch. Nazvime postupnosť vektorov, ktorá spĺňa takéto veci, Schauderova báza.
Pár pozorovaní, ktoré nie sú príliš ťažké:
- Z funkcionálnej analýzy viete, že každý separabilný Hilbertov priestor má spočítateľnú ortonormálnu bázu. Takáto báza je príkladom Schauderovej bázy.
- Pomerne prirodzené je v niektorých priestoroch postupností skúsiť ako bázové vektory postupnosti tvaru $e^{(k)}=(\delta_{kn})$. (T.j. na jednom mieste jednotka a inde nuly.) Takto dostaneme bázu v $c_0$ a tiež v $\ell_p$ pre $1\le p<\infty$.
- Ak priestor $X$ má Schauderovu bázu, tak je separabilný. (Vektory tvaru $\sum\limits_{i=1}^n c_ib_i$, kde $c_i\in\mathbb Q$, vytvoria spočítateľnú hustú množinu.)
- Napríklad priestor $\ell_\infty$ nie je separabilný. V ňom teda Schauderovu bázu nenájdeme.