$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne
grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je
$(M,+,\cdot)$ pole?
môžete prosím nakopírovať sem zadanie z dôvodu prehliadnosti ? (pre budúcnosť, mohol som to urobiť aj ja, alebo jediné čo som mohol urobiť, bolo ho nanovo napísať ? )
- Najprv sa pozrieme na operáciu +. Všimnime si, že je to to isté ako súčet modulo 2. A to, že to je komutatívna grupa sme už dokázali pre hocijaké prvočíslo, čiže aj pre dvojku.
- Teraz sa pozrime na druhú operáciu. Po vylúčení 0 z množiny, nam tam ostane už iba jednotka a s tým sa jednoducho pracuje.
- Je to BO ? 1⋅1=1 áno
- Je asociatívna ? (1⋅1)⋅1 = 1 =1⋅(1⋅1) áno
- NP=1
- IP=1
- Je komutatívna ? má jeden prvok, čiže áno
- platí (a+b)c=ac+bc ?
- pri operácií ⋅ je výsledná hodnota závislá iba od ľavého prvku, čiže (a+b)c=ac+bc môžeme upraviť (a+b)=a+b a to platí
- je to pole ?
- nie, lebo to čo sme dokázali je len polovica distributívnosti. nato aby to bolo pole musí platiť aj toto :
- c(a+b)= ca+ cb rovnakou úvahou ako pred chvíľou dôjdeme ku vzťahu c=c+c a to neplatí pre c=1, čiže (M,+,⋅)(M,+,⋅) nie je pole