Neodprednášané veci z textu

[Martin Sleziak]

Niektoré veci, ktoré sú v poznámkach k prednáške som neodprednášal. Môže to byť z rôznych dôvodov.

• Sú tam nejaké veci navyše, pri ktorých som ani nepočítal s tým, že ich odprednášam. (Zvyčajne sú v texte označené hviezdičkou. Azda nie je na škodu, keď tam je niečo navyše - ľudia, ktorí ostatné veci stíhajú v pohode, si môžu pozrieť aj niečo ďalšie. A vedieť o čosi viac môže priniesť aj lepší vhľad do vecí, ktoré sme stihli prebrať.)
• Niekedy sú v poznámkach veci, ktorým sme sa v skutočnosti venovali na cviku. (To sa týka najmä častí, kde sú riešené príklady, alebo kde rozoberám ako sa dá robiť pri niektorých typoch úloh skúška.)
• Ale sú tam aj časti, ktoré by som rád odprednášal keby som stihol, ale nepodarilo sa. (Na druhej strane zas nechcem priveľmi zvyšovať tempo prednášky a priveľa vecí preskakovať a nechávať na rozmyslenie vám.)

Čiže aspoň v niektorých prípadoch sa to, že niečo z poznámok neodznelo na prednáške, dá brať ako feature a nie bug.

Každopádne by bolo dobré pred skúškou jasne povedať, ktoré veci vám zostali na samostatné naštudovanie a čo všetko z nich budem skúšať.

[Martin Sleziak]

Toto sú veci, ktoré neboli na prednáške:

Kapitola 2
Kapitola 2 obsahuje časť 2.1, kde sú stručne zhrnuté nejaké veci o dôkazoch. V poznámkach sa mi zdalo rozumné dať to pokope na jedno miesto - na prednáške som to bral tak, že takéto veci (dôkaz indukciou, obmenu implikácia a pod.) ovládate a viete používať. Občas som sa pri nich zastavil a niečo stručne okomentoval.
Okrem toho je tu ešte časť 2.2.3, kde je vlastne len definícia vzoru a obrazu množiny a na konci kapitoly je pár cvičení na tento pojem. Toto som neprednášal a ani neskúšam. (Mali by ste byť schopní zvládnuť jednouché cvičenia typu: Vzor podpriestoru v lineárnom zobrazení je podpriestor. Ak sa ale taká úloha vyskytne na skúške, tak tam budú uvedené aj všetky potrebné definície.)

Kapitola 3
Dôkaz zovšeobecneného asociatívneho zákonu som nerobil - ani ho nebudem skúšať. Vedieť, že takéto niečo platí môže byť ale aj tak užitočné.

Kapitola 4
Nerobil som časť 4.5 lineárne a direktné súčty. Tá zostala na samostatné naštudovanie. Podstatné výsledky tam sú charakterizácia direktného súčtu a vyjadrenie pre dimenziu súčtu podpriestorov. (Samozrejme, aby človek rozumel týmto výsledkom, tak treba vedieť základné definície.)

Kapitola 5
Časť 5.6 o súvise riadkových/stĺpcových operácií a násobení matíc - toto sme si stručne vysvetlili na pár príkladoch na cvičení. Nerobil som však dôkazy - skúšať ich nebudem. (Ale už aj na písomkách počas semestra ste videli, že aspoň vedieť že takéto niečo platí môže byť užitočné - dáva vám to k dispozícii iný pohľad na ERO/ESO.)
Časť 5.7.2 (Gaussova eliminačná metóda) nebola síce na prednáške, toto sme však robili na cvičení, takže to považujem za prebraté.
Nerobil som časť 5.8 o jadre a obraze. Podstatné výsledky sú najmä charakterizácia injektívnych lineárnych zobrazení pomocou jadra a výsledok o dimenzie. Chcel by som, aby ste výsledky a pojmy z tejto kapitoly vedeli (nebudem skúšať dôkazy.)
Okrem toho je v tejto kapitole časť, kde sú nejaké ďalšie dôkazy toho, že $h(A)=h(A^T)$. (Toto sme ukázali jedným spôsobom - čiže tento výsledok normálne skúšam. Ak by vás zaujímali iné možnosti ako to dokázať, tak sa môžete na ne pozrieť alebo sa skúsiť nad nimi sami zamyslieť.)
Časť o násobení blokových matíc je označená hviezdičkou - tá je nepovinná. (Ale bežne sme používali to, ako vyzerá súčin, ak maticu rozdelíme na riadky resp. stĺpce. To čo je uvedené tu, je zovšeobecnenie.)

Kapitola 6
Z kapitoly 6 som dva dôležité výsledky nestihol dokázať (ale spomenieme ich na cvičeniach): Laplaceov rozvoj, determinant súčinu matíc. (Tieto veci by ste na skúške mali vedieť - nebudem však skúšať dôkazy.)
Takisto som nestihol urobiť Cramerovo pravidlo a vyjadrenie inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Tie nebudem skúšať. (Ale môže sa oplatiť pozrieť si ich.)

Ak teda zosumarizujem veci, ktoré neboli na prednáške ale treba ich vedieť na skúšku:

• Lineárne a direktné súčty podpriestorov.
• Jadro a obraz lineárneho zobrazenia.
• Časť kapitoly o determinantoch (Laplaceov rozvoj, determinant súčinu matíc).

Dohodneme sa, že z týchto častí nebudem skúšať dôkazy, ale chcem aby ste ich na skúšku vedeli. (Aj tak sa vám na dôkaz možno oplatí pozrieť - môže to pomôcť tomu, aby ste rozumeli prečo vlastne uvedené tvrdenia platia. Takisto sa môžete skúsiť samostatne zamyslieť nad tým, či viete vymyslieť dôkaz. Každopádne na skúške sa tieto veci objavia skôr v príkladoch - v rámci teórie by sa mohli objaviť z nich možno definície.)

[Martin Sleziak]

Toto sú veci, ktoré neboli na prednáške:

Kapitola 2
Kapitola 2 obsahuje časť 2.1, kde sú stručne zhrnuté nejaké veci o dôkazoch. V poznámkach sa mi zdalo rozumné dať to pokope na jedno miesto - na prednáške som to bral tak, že takéto veci (dôkaz indukciou, obmenu implikácia a pod.) ovládate a viete používať. Občas som sa pri nich zastavil a niečo stručne okomentoval.
Okrem toho je tu ešte časť 2.2.3, kde je vlastne len definícia vzoru a obrazu množiny a na konci kapitoly je pár cvičení na tento pojem. Toto som neprednášal a ani neskúšam. (Mali by ste byť schopný zvládnuť jednouché cvičenia typu: Vzor podpriestoru v lineárnom zobrazení je podpriestor. Ak sa ale taká úloha vyskytne na skúške, tak tam budú uvedené aj všetky potrebné definície.)

Kapitola 3
Dôkaz zovšeobecneného asociatívneho zákonu som nerobil - ani ho nebudem skúšať. Vedieť, že takéto niečo platí môže byť ale aj tak užitočné.

Kapitola 4
Nerobil som časť 4.5 lineárne a direktné súčty. Tá zostala na samostatné naštudovanie. Podstatné výsledky tam sú charakterizácia direktného súčtu a vyjadrenie pre dimenziu súčtu podpriestorov. (Samozrejme, aby človek rozumel týmto výsledkom, tak treba vedieť základné definície.)

Kapitola 5
Časť 5.6 o súvise riadkových/stĺpcových operácií a násobení matíc - toto ste si stručne vysvetlili na pár príkladoch na cvičení. Nerobil som však dôkazy - skúšať ich nebudem. (Ale už aj na písomkách počas semestra ste videli, že aspoň vedieť že takéto niečo platí môže byť užitočné - dáva vám to k dispozícii iný pohľad na ERO/ESO.)
Časť 5.7.2 (Gaussova eliminačná metóda) nebola síce na prednáške, toto ste však robili na cvičení, takže to považujem za prebraté.
Nerobil som časť 5.8 o jadre a obraze. Podstatné výsledky sú najmä charakterizácia injektívnych lineárnych zobrazení pomocou jadra a výsledok o dimenzie. Chcel by som, aby ste výsledky a pojmy z tejto kapitoly vedeli (nebudem skúšať dôkazy.)
Okrem toho je v tejto kapitole časť, kde sú nejaké ďalšie dôkazy toho, že $h(A)=h(A^T)$. (Toto sme ukázali jedným spôsobom - čiže tento výsledok normálne skúšam. Ak by vás zaujímali iné možnosti ako to dokázať, tak sa môžete na ne pozrieť alebo sa skúsiť nad nimi sami zamyslieť.)
Časť o násobení blokových matíc je označená hviezdičkou - tá je nepovinná. (Ale bežne sme používali to, ako vyzerá súčin, ak maticu rozdelíme na riadky resp. stĺpce. To čo je uvedené tu, je zovšeobecnenie.)

Kapitola 6
Z kapitoly 6 som dva dôležité výsledky nestihol dokázať (ale spomeniete ich na cvičeniach): Laplaceov rozvoj, determinant súčinu matíc. (Tieto veci by ste na skúške mali vedieť - nebudem však skúšať dôkazy.)
Takisto som nestihol urobiť Cramerovo pravidlo a vyjadrenie inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Tie nebudem skúšať. (Ale môže sa oplatiť pozrieť si ich.)
To čo som reálne stihol odprednášať je definícia determinantu, dôkazy o transponovanej matici a o tom ako riadkové operácie menia determinant. Dôkazy budem skúšať len k tým tvrdeniam, ktoré som dokázal aj na prednáške. (Tam som ich dokazoval bez Laplaceovho rozvoja - ak sa vám viac pozdáva dôkaz pomocou Laplaceovho rozvoja, tak pokojne môžete použiť taký dôkaz.) Ale aj tvrdenia o riadkových operáciách, ktoré som už nestihol dokázať, sa oplatí vedieť - pomôžu vám pri príkladoch na výpočet determinantov.

Ak teda zosumarizujem veci, ktoré neboli na prednáške ale treba ich vedieť na skúšku:

• Lineárne a direktné súčty podpriestorov.
• Jadro a obraz lineárneho zobrazenia.
• Časť kapitoly o determinantoch.

Dohodneme sa, že s výnimkou súčtov podpriestorov z týchto častí nebudem skúšať dôkazy, ale chcem aby ste na skúšku vedeli aspoň definície a výsledky, ktoré tam sú uvedené. (Aj tak sa vám na dôkaz možno oplatí pozrieť - môže to pomôcť tomu, aby ste rozumeli prečo vlastne uvedené tvrdenia platia. Takisto sa môžete skúsiť samostatne zamyslieť nad tým, či viete vymyslieť dôkaz. Každopádne na skúške sa tieto veci objavia skôr v príkladoch - v rámci teórie by sa mohli objaviť z nich možno definície.)

[Martin Sleziak]

Toto sú veci, ktoré neboli na prednáške:

Kapitola 2
Kapitola 2 obsahuje časť 2.1, kde sú stručne zhrnuté nejaké veci o dôkazoch. V poznámkach sa mi zdalo rozumné dať to pokope na jedno miesto - na prednáške som to bral tak, že takéto veci (dôkaz indukciou, obmenu implikácia a pod.) ovládate a viete používať. Občas som sa pri nich zastavil a niečo stručne okomentoval.
Okrem toho je tu ešte časť 2.2.3, kde je vlastne len definícia vzoru a obrazu množiny a na konci kapitoly je pár cvičení na tento pojem. Toto som neprednášal a ani neskúšam. (Mali by ste byť schopný zvládnuť jednouché cvičenia typu: Vzor podpriestoru v lineárnom zobrazení je podpriestor. Ak sa ale taká úloha vyskytne na skúške, tak tam budú uvedené aj všetky potrebné definície.)

Kapitola 3
Dôkaz zovšeobecneného asociatívneho zákonu som nerobil - ani ho nebudem skúšať. Vedieť, že takéto niečo platí môže byť ale aj tak užitočné.

Kapitola 4
Nerobil som časť 4.5 lineárne a direktné súčty. Tá zostala na samostatné naštudovanie. Podstatné výsledky tam sú charakterizácia direktného súčtu a vyjadrenie pre dimenziu súčtu podpriestorov. (Samozrejme, aby človek rozumel týmto výsledkom, tak treba vedieť základné definície.)

Kapitola 5
Časť 5.6 o súvise riadkových/stĺpcových operácií a násobení matíc - toto ste si stručne vysvetlili na pár príkladoch na cvičení. Nerobil som však dôkazy - skúšať ich nebudem. (Ale už aj na písomkách počas semestra ste videli, že aspoň vedieť že takéto niečo platí môže byť užitočné - dáva vám to k dispozícii iný pohľad na ERO/ESO.)
Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať. (Chcel by som ale, aby ste vedeli riešiť príklady takéhoto typu - t.j. pre zadaný podpriestor nájsť sústavu.)
Časť 5.7.2 (Gaussova eliminačná metóda) nebola síce na prednáške, toto ste však robili na cvičení, takže to považujem za prebraté.
Nerobil som časť 5.8 o jadre a obraze. Podstatné výsledky sú najmä charakterizácia injektívnych lineárnych zobrazení pomocou jadra a výsledok o dimenzii jadra a obrazu. Chcel by som, aby ste výsledky a pojmy z tejto kapitoly vedeli (nebudem skúšať dôkazy.)
Okrem toho je v tejto kapitole časť, kde sú nejaké ďalšie dôkazy toho, že $h(A)=h(A^T)$. (Toto sme ukázali jedným spôsobom - čiže tento výsledok normálne skúšam. Ak by vás zaujímali iné možnosti ako to dokázať, tak sa môžete na ne pozrieť alebo sa skúsiť nad nimi sami zamyslieť.)
Časť o násobení blokových matíc je označená hviezdičkou - tá je nepovinná. (Ale bežne sme používali to, ako vyzerá súčin, ak maticu rozdelíme na riadky resp. stĺpce. To čo je uvedené tu, je zovšeobecnenie.)

Kapitola 6
Z kapitoly 6 som dva dôležité výsledky nestihol dokázať (ale spomeniete ich na cvičeniach): Laplaceov rozvoj, determinant súčinu matíc. (Tieto veci by ste na skúške mali vedieť - nebudem však skúšať dôkazy.)
Takisto som nestihol urobiť Cramerovo pravidlo a vyjadrenie inverznej matice pomocou adjungovanej matice. Tie nebudem skúšať. (Ale môže sa oplatiť pozrieť si ich.)
To čo som reálne stihol odprednášať je definícia determinantu, výsledok o transponovanej matici (tam som dôkaz len naznačil) a výsledky o tom o tom ako riadkové operácie menia determinant. Dôkazy budem skúšať len k tým tvrdeniam, ktoré som dokázal aj na prednáške. (Tam som ich dokazoval bez Laplaceovho rozvoja - ak sa vám viac pozdáva dôkaz pomocou Laplaceovho rozvoja, tak pokojne môžete použiť taký dôkaz.) Väčšinou to boli dôkazy, kde to šlo veľmi priamočiaro z definície. Ale aj tvrdenia o riadkových operáciách, ktoré som už nestihol dokázať, sa oplatí vedieť - pomôžu vám pri príkladoch na výpočet determinantov.


Ak teda zosumarizujem veci, ktoré neboli na prednáške ale treba ich vedieť na skúšku:

• Lineárne a direktné súčty podpriestorov.
• Jadro a obraz lineárneho zobrazenia.
• Časť kapitoly o determinantoch.

Dohodneme sa, že s výnimkou súčtov podpriestorov a jednoduchých vecí týkajúcich sa jadra a obrazu z týchto častí nebudem skúšať dôkazy, ale chcem aby ste na skúšku vedeli aspoň definície a výsledky, ktoré tam sú uvedené. (Aj tak sa vám na dôkaz možno oplatí pozrieť - môže to pomôcť tomu, aby ste rozumeli prečo vlastne uvedené tvrdenia platia. Takisto sa môžete skúsiť samostatne zamyslieť nad tým, či viete vymyslieť dôkaz. Každopádne na skúške sa tieto veci objavia skôr v príkladoch - v rámci teórie by sa mohli objaviť z nich možno definície.)

[Martin Sleziak]

Toto sú veci, ktoré neboli na prednáške (v ZS 2023/24):

Kapitola 2
Kapitola 2 obsahuje časť 2.1, kde sú stručne zhrnuté nejaké veci o dôkazoch. V poznámkach sa mi zdalo rozumné dať to pokope na jedno miesto - na prednáške som to bral tak, že takéto veci (dôkaz indukciou, obmenu implikácia a pod.) ovládate a viete používať. Občas som sa pri nich zastavil a niečo stručne okomentoval.
Okrem toho je tu ešte časť 2.2.3, kde je vlastne len definícia vzoru a obrazu množiny a na konci kapitoly je pár cvičení na tento pojem. Toto som neprednášal a ani neskúšam. (Mali by ste byť schopný zvládnuť jednouché cvičenia typu: Vzor podpriestoru v lineárnom zobrazení je podpriestor. Ak sa ale taká úloha vyskytne na skúške, tak tam budú uvedené aj všetky potrebné definície.)

Kapitola 3
Dôkaz zovšeobecneného asociatívneho zákonu som nerobil - ani ho nebudem skúšať. Vedieť, že takéto niečo platí môže byť ale aj tak užitočné.

Kapitola 4
Nerobil som časť 4.5 lineárne a direktné súčty. Tá zostala na samostatné naštudovanie. Podstatné výsledky tam sú charakterizácia direktného súčtu a vyjadrenie pre dimenziu súčtu podpriestorov. (Samozrejme, aby človek rozumel týmto výsledkom, tak treba vedieť základné definície.)

Kapitola 5
Časť 5.6 o súvise riadkových/stĺpcových operácií a násobení matíc - toto ste si stručne vysvetlili na pár príkladoch na cvičení. Nerobil som však dôkazy - skúšať ich nebudem. (Ale už aj na písomkách počas semestra ste videli, že aspoň vedieť že takéto niečo platí môže byť užitočné - dáva vám to k dispozícii iný pohľad na ERO/ESO.)
Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať. (Chcel by som ale, aby ste vedeli riešiť príklady takéhoto typu - t.j. pre zadaný podpriestor nájsť sústavu.)
Časť 5.7.2 (Gaussova eliminačná metóda) nebola síce na prednáške, toto ste však robili na cvičení, takže to považujem za prebraté.
Nerobil som časť 5.8 o jadre a obraze. Podstatné výsledky sú najmä charakterizácia injektívnych lineárnych zobrazení pomocou jadra a výsledok o dimenzii jadra a obrazu. Chcel by som, aby ste výsledky a pojmy z tejto kapitoly vedeli (nebudem skúšať dôkazy.)
Okrem toho je v tejto kapitole časť, kde sú nejaké ďalšie dôkazy toho, že $h(A)=h(A^T)$. (Toto sme ukázali jedným spôsobom - čiže tento výsledok normálne skúšam. Ak by vás zaujímali iné možnosti ako to dokázať, tak sa môžete na ne pozrieť alebo sa skúsiť nad nimi sami zamyslieť.)
Časť o násobení blokových matíc je označená hviezdičkou - tá je nepovinná. (Ale bežne sme používali to, ako vyzerá súčin, ak maticu rozdelíme na riadky resp. stĺpce. To čo je uvedené tu, je zovšeobecnenie.)

Kapitola 6
Na prednáške som nespomenul pomerne dôležitý výsledok, že matica $A$ typu $n\times n$ je regulárna p.v.k. $\det(A)\ne0$.
Z kapitoly 6 som som nestihol urobiť ani Cramerovo pravidlo a vyjadrenie inverznej matice pomocou adjungovanej matice.
Väčšinu z ostatných vecí som však hovoril iba na tej nepovinnej prednáške "navyše" - na povinných prednáškach som stihol vlastne definíciu, ako to vyzerá pre matice $2\times2$ a $3\times3$ a tiež to, že $|A^T|=|A|$. Okrem toho som (aj keď veľmi stručne) povedal, čo je Laplaceov rozvoj. Z elementárnych riadkových operácií som na povinnej prednáške stihol iba $c$-násobok.

Ak teda zosumarizujem veci, ktoré neboli na prednáške ale treba ich vedieť na skúšku:

• Lineárne a direktné súčty podpriestorov.
• Jadro a obraz lineárneho zobrazenia. (Neskúšam dôkazy.)
• Kapitola o determinantoch. (Z tejto kapitoly som aspoň nejaké veci stihol odprednášať - tí z vás, ktorí boli aj na tej nepovinnej prednáške vlastne počuli väčšinu vecí z tejto kapitoly.)

Pri jadre a obraze ani pri determinantoch nebudem skúšať dôkazy, ale chcem aby ste na skúšku vedeli aspoň definície a výsledky, ktoré tam sú uvedené. (Aj tak sa vám na dôkaz možno oplatí pozrieť - môže to pomôcť tomu, aby ste rozumeli prečo vlastne uvedené tvrdenia platia. Takisto sa môžete skúsiť samostatne zamyslieť nad tým, či viete vymyslieť dôkaz. Každopádne na skúške sa tieto veci objavia skôr v príkladoch - v rámci teórie by sa mohli objaviť z nich možno definície, prípadne niektoré výsledky - ale bez toho, že by som chcel aj dôkaz.)