Súčet a prienik podpriestorov

[Martin Sleziak]

Tento príklad na skúške nedopadol príliš dobre, hoci podľa mojej mienky bol na tomto skúškovom termíne jeden z najľahších.

Pre podpriestory $W_1$, $W_2$ priestoru $M_{2,2}(\mathbb R)$
\begin{align*}
W_1&=\{
\begin{pmatrix}
a &-a \\
b & c \\
\end{pmatrix}; a,b,c\in\mathbb R
\}\\
W_2&=\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
-a & c \\
\end{pmatrix}; a,b,c\in\mathbb R
\}
\end{align*}
nájdite bázu a dimenziu priestorov $W_1\cap W_2$ a $W_1+W_2$.

Nebudem sem písať všetky detaily riešenia, skôr nejaké stručné poznámky.
Samozrejme, ak vy budete mať nejaké otázky, návrhy na iné riešenia a pod., tak sem neváhajte napísať.

Začnem tým, že nie je zlé si uvedomiť, že $M_{2,2}(\mathbb R)\cong \mathbb R^4$. (Všeobecnejšie $M_{m,n}(\mathbb R)\cong \mathbb R^{mn}$.)
Ak ma zaujíma iba štruktúra vektorového priestoru - t.j. iba sčitovanie a násobenie skalárom - tak nezáleží na tom, či mám čísla poukladané v jednom riadku alebo vo viacerých. Takže až na izomorfizmus je táto úloha presne to isté ako riešiť analogickú úlohu pre priestory $W'_1=\{(a,-a,b,c); a,b,c \in\mathbb R\}$ a $W'_2=\{(a,b,-a,c); a,b,c\in\mathbb R\}$.

Vcelku ľahko sa dá vidieť, že $\dim(W_1)=\dim(W_2)=3$.

Poďme sa pozrieť na to, čo vieme povedať o prieniku $W_1\cap W_2$. T.j. pýtame sa na matice také, že
$$\begin{pmatrix}
a &-a \\
b & c \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a' & b' \\
-a' & c' \\
\end{pmatrix}$$

Spoiler:

Na skúškovej písomke niektorí z vás riešili niečo takéto:
$$\begin{pmatrix}
a &-a \\
b & c \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b \\
-a & c \\
\end{pmatrix}.$$
Treba si uvedomiť, že matica z $W_1$ je určená nejakou trojicou reálnych čísel. To isté platí pre maticu z $W_2$.
Ak si chcem popísať to, že uvažujem o ľubovoľnej matici z $W_1$ a ľubovoľnej matici z $W_2$, tak túto trojicu musím v jednom prípade označiť inými premennými ako v druhom.

Aj keď v tomto prípade to vyjde správne - čiže sa vlastne dá povedať, že som zvolil dosť zlé zadanie; dá sa tu dostať nesprávnym postupom k správnemu výsledku. (Na druhej strane, to by malo zvyšovať šance dopracovať sa k správnemu výsledku.)

Porovnaním týchto dvoch matíc dostaneme sústavu lineárnych rovníc. Je to síce sústava ktorá má šesť neznámych, rovnice v nej sú však veľmi jednoduché a takmer na prvý pohľad vidno, že $a'=a$, $b=b'=-a$ a $c=c'$. Takto sa dostaneme k tomu, že
$$W_1\cap W_2=\{
\begin{pmatrix}
a &-a \\
-a & c \\
\end{pmatrix}; a,c\in\mathbb R
\}$$
a $\dim(W_1\cap W_2)=2$.

Ak si pamätáme vzorec
$$\dim(W_1)+\dim(W_2)=\dim(W_1+W_2)+\dim(W_1\cap W_2)$$
tak hneď dostaneme, že $\dim(W_1+W_2)=\dim(W_1)+\dim(W_2)-\dim(W_1\cap W_2)=3+3-2=4$.
Samozrejme, ak máme podpriestor $\mathbb R^4$, ktorý má dimenziu $4$, tak to už nutne musí byť celý priestor. Čiže bez toho, že by sme čokoľvek rátali ďalej, vieme povedať, že
$$W_1+W_2=\mathbb R^4.$$
Samozrejme súčet by sme mohli dostať aj štandardným spôsobom - zobrať bázy pre $W_1$ a $W_2$, dať ich dokopy a upravovať.

Pridám sem ešte linku na iný príklad týkajúci sa súčtu: viewtopic.php?t=816 (Presne tú istú, ktorú som vám kedysi dal v topicu s vecami prebratými na cvičeniach.)