Na nejaké veci o rovnakej d.ú. z minulých rokov sa dá pozrieť tu:
viewtopic.php?t=1052
viewtopic.php?t=492
viewtopic.php?t=321
viewtopic.php?t=71
Nejaké poznámky k odovzdaným riešeniam
Logické spojky sa používajú pri výrokoch. Správne: $(z\in A)\lor(z\in B)$; Nesprávne: $z\in A\lor B$.
Množinové operácie sa používajú pri práci s množinami. Správne: $z\in A\cup B$; Nesprávne: $(z\in A)\cup(z\in B)$
Úlohou bolo ukázať $A\cap(A\cup B)=A$. V jednom z odovzdaných riešení som si prečítal:
To, čo je tu napísané je síce pravda a v tomto prípade (inak povedané - pre jednoprvkové množiny) naozaj vieme takto skontrolovať, že $A=A\cap(A\cup B)$. (Aj tu by sa ešte dalo namietať, že z napísaného nie je jasné či autor riešenia má na mysli prípad $a\ne b$ alebo súčasne rieši oba prípady - či sú to rôzne alebo rovnaké prvky.)Úvaha: Ak $A=\{a\}$, $B=\{b\}$, tak $A\cup B=\{a,b\}$ a $A\cap(A\cup B)=\{a\}$.
Každopádne to ale určite nie je úplné riešenie, takto je overený iba jeden špeciálny prípad rovnosti, ktorú máte dokázať pre ľubovoľné množiny $A$, $B$.
Vyskytli sa problémy pri prepísaní výroku $z\in B\cup C$.
Toto je (takmer) presný citát z jedného odovzdaného riešenia:
Keď sa pozriete na posledný riadok, tak ten by zodpovedal výroku $p\land (q \lor r) \Leftrightarrow (p\land q)\land r$ pre vhodne zvolené $p$, $q$, $r$. Čo je nepravdivý výrok.\begin{align*}
A\setminus (B\cup C) &= (A\setminus B) \setminus C\\
z\in A\setminus (B\cup C) &\Leftrightarrow z\in (A\setminus B) \setminus C\\
z\in A\land (z\notin B\cup C) &\Leftrightarrow (z\in A \land z\notin B) \land z\notin C\\
z\in A\land (z\notin B\lor z\notin C) &\Leftrightarrow (z\in A \land z\notin B) \land z\notin C\\
\end{align*}
Uvedená rovnosť v skutočnosti platí, chyba bola v poslednom kroku, kde bol výrok $z\notin B\cup C$ nahradený $z\notin B \lor z\notin C$.
Pozrime sa na to trochu detailnejšie, aby sme videli, čo tam vlastne bolo treba urobiť
\begin{align*}
(z\notin B\cup C)
&\Leftrightarrow \neg (z\in B\cup C)\\
&\Leftrightarrow \neg (z\in B\lor z\in C)\\
&\Leftrightarrow \neg (z\in B)\land \neg(z\in C)\\
&\Leftrightarrow (z\notin B)\land (z\notin C)
\end{align*}
Ak by sme teda v poslednom kroku správne namiesto $z\notin B\cup C$ použili $(z\notin B)\land (z\notin C)$, tak by sme dostali
$$z\in A\land (z\notin B\land z\notin C) \Leftrightarrow (z\in A \land z\notin B) \land z\notin C$$
čo je pravdivý výrok (zodpovedá tautológii $p\land(q\land r)\Leftrightarrow (p\land q)\land r.$)
Ešte sa azda oplatí spomenúť, že ak zapisujete riešenie takýmto spôsobom, bolo by dobre napísať čo tam robíte. (T.j. že ste si na začiatku napísali čo chcete dokázať a v každom kroku ste prepísali túto podmienku na inú podmienku s ňou ekvivalentnú. Keďže platí podmienka, ktorú ste dostali na konci, platí aj pôvodné tvrdenie.)
V princípe niečo podobné ako pri dôkazoch rovností: viewtopic.php?t=1164
Ukážka iného riešenia
Len tak pre zaujímavosť pridáme ešte inú možnosť riešenia, ktorá sa dá použiť pri niektorých tautológiách. Chceme overiť
$$p\land(q\land r)\Leftrightarrow (p\land q)\land r.$$
Ak sa na pravdivostné hodnoty $0$, $1$ pozrieme na chvíľu ako na reálne čísla, tak vidíme, že sa vlastne pýtame či platí
$$p\cdot(q\cdot r) = (p\cdot q)\cdot r$$
pre ľubovoľné $p,q,r\in\{0,1\}$.
Vieme, že násobenie reálnych čísel je asociatívne. Uvedená rovnosť platí pre ľubovoľné $p,q,r\in\mathbb R$; tým skôr platí ak sme sa obmedzili iba na čísla $0$ a $1$.
Veľmi podobne sa to dá povedať tak, že keď sa pozeráme na pravdivostné hodnoty ako reálne čísla, tak pravdivostná hodnota $p\land q$ je vlastne $\min\{p,q\}$, čiže si stačí rozmyslieť rovnosť $$\min\{p,\min\{q,r\}\}=\min\{\min\{p,q\},r\},$$ kde obe strany predstavujú najmenšie z trojice čísel $p$, $q$, $r$.