Dá sa rozumne definovať rozdiel kardinálnych čísel?

[Martin Sleziak]

Keď sme definovali nejaké operácie s kardinalitami - súčet, súčin, mocnina - je asi vcelku prirodzené pýtať sa, či by sa dal nejako zmysluplne definovať aj rozdiel.

Ja sem k tomu niečo napíšem. Dal som to sem najmä preto, že sa na tom dá dobre ilustrovať, čo znamená že operácia je dobre definovaná.

Ale kým začnete čítať ďalej, azda nezaškodí, ak sa skúsite zamyslieť sami nad tým, či by ste niečo takéto vedeli vymyslieť - a prípadne prísť na to, či váš nápad z nejakých dôvodov nebude fungovať tak, ako by sme chceli.

[Martin Sleziak]

Azda jedna prirodzená možnosť by mohla byť postupovať podobne, ako pri definícii súčtu. Máme nejaké dve množiny $A$, $B$, ich kardinality si označíme $|A|=a$, $|B|=b$. Chceme nejako pomocou nich definovať, čo budeme rozumieť pod $a-b$.

Možno vcelku rýchlo človeku napadne, že rozdiel množín by mohol zodpovedať rozdielu veľkostí.

Prvý pokus. Mohli by sme skúsiť definovať $$a-b=|A\setminus B|.$$

Prečo to nefunguje. Vcelku rýchlo zbadáme, že takáto definícia by nebola veľmi rozumná. Nefunguje to ani pre prirodzené čísla. Dostali by sme takto napríklad
\begin{align*}
4-2&=4\\
4-2&=3\\
4-2&=2
\end{align*}
ak si zvolíme $B=\{0,1,2,3\}$ a za $B$ postupne dosadíme $B=\{4,5\}$, $B=\{3,4\}$ a $B=\{2,3\}$.

Druhý pokus. Tento problém by sme vedeli odstrániť ak ku $a-b=|A\setminus B|$ pridáme podmienku, že to budeme robiť pre množiny také, že
$$B\subseteq A.$$

Je to o čosi lepšie. Teraz to už aspoň trochu zmyusluplne funguje pre prirodzené čísla. Konkrétne ak $a\ge b$, tak $a-b$ definované takto je naozaj rozdiel týchto čísel. Pre $a<b$ zostal rozdiel nedefinovaný - ale s tým sa asi vieme zmieriť, ak chceme aby výsledok bolo kardinálne číslo, teda nemáme povolené záporné čísla.

Prečo to nefunguje. Problém nastane ak začneme pracovať s nekonečnými kardinalitami. Napríklad ak by sme chceli podľa takejto definície povedať čomu sa rovná $\aleph_0-\aleph_0$, tak by sme dostali:
\begin{align*}
\aleph_0-\aleph_0&=|\mathbb Z\setminus\mathbb N|=\aleph_0\\
\aleph_0-\aleph_0&=|\mathbb N\setminus\mathbb N|=0
\end{align*}
Teda výsledok nie je určený jednoznačne.

Toto je presne to, čo sa myslí pod tým, že takto definovaná operácia nie je dobre definovaná. Výsledok závisí od toho, akého reprezentanta sme si vybrali pre naše kardinálne číslo.

[Martin Sleziak]

Ešte iná možnosť by bola povedať: Rozdiel $a-b=c$ definujeme ako číslo $c$ také, že
$$b+c=a.$$
Opäť, pre prirodzené čísla by to fungovalo tak, ako sme zvyknutí, ak pridáme predpoklad, že $a\ge b$.

Ale znovu budeme mať problém s nekonečnými kardinálnymi číslami. Máme totiž
\begin{align*}
\aleph_0+\aleph_0&=\aleph_0\\
\aleph_0+0&=\aleph_0
\end{align*}
Teda aj pri tejto definícii by výsledok $\aleph_0-\aleph_0$ nebol jednoznačne určený, uvedenej podmienky vyhovuje $\aleph_0$ aj $0$. (A aj všetky konečné kardinálne čísla.)

V podstate sa dá povedať, že hlavný problém je v tom, že pri sčitovaní kardinálov nevieme krátiť.
T.j. z $a+c=b+c$ nevyplýva $b=c$.