Úloha 3.4. Dokážte, že v ľubovoľnom poli platí $x^2=y^2 ⇔ x=y ∨ x=−y$

[janetatomas]

Majme pole F s operáciami + a $\cdot$.
Ak $x^2 =0 = y^2$ ,potom podľa tvrdenia 3.3.4, časť vii platí $x = 0 \land y = 0$,teda $x = -x = y = -y$.
Nech pre nejaké x,y,z F plati $x^2=y^2$ pričom $x\neq0, y\neq0$. Potom platí $x^2-y^2 = 0$
Pretože operácia $\cdot$ je distributívna vzhľadom na operáciu + ,platí pre všetky $a,b,c,d \in F: (a+b)(c+d) = a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$
Potom $(x - y)(x + y) = x^2 - x \cdot y + y \cdot x -y^2 = x^2 - y^2 = 0$,pričom sme využili opäť tvrdenie 3.3.4, časť iv. Teda $(x - y)(x + y) = 0$, opäť podľa tvrdenia 3.3.4 ,časť vii platí $x = y \lor x = -y$.
Teda prvá implikácia je dokázaná.
Opačná implikácia hovorí $x = y \lor x = -y \implies x^2 = y^2$
Ak $x = y$, je zrejmé že to platí. Nech $x = -y$, potom $x^2 = x \cdot x = (-y) \cdot (-y) = - (-y^2) = y^2$, teda $x^2 = y^2$, pričom sme použili tvrdenie 3.3.4 časť iv.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok. Značím si 1 bod.

Drobné komentáre:

Ak $x^2 =0 = y^2$ ,potom podľa tvrdenia 3.3.4, časť vii platí $x = 0 \land y = 0$,teda $x = -x = y = -y$.

Myslím si, že nebolo treba nulu ošetrovať zvlášť. Zvyšok prejde aj pre nulové $x$ (či nulové $y$).
Časť na ktorú sa tu odvolávate je asi (vi) nie (vii) - pri súčasnom číslovaní. (Ale asi z kontextu je každému jasné čo používame.)

Pretože operácia $\cdot$ je distributívna vzhľadom na operáciu + ,platí pre všetky $a,b,c,d \in F: (a+b)(c+d) = a \cdot (c+d) + b \cdot (c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$
Potom $(x - y)(x + y) = x^2 - x \cdot y + y \cdot x -y^2 = x^2 - y^2 = 0$,pričom sme využili opäť tvrdenie 3.3.4, časť iv. Teda $(x - y)(x + y) = 0$, opäť podľa tvrdenia 3.3.4 ,časť vii platí $x = y \lor x = -y$.

Môžeme si všimnúť, že tu vlastne vidíme platnosť rovnosti $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ v ľubovoľnom poli. (A dokonca tu sme nevyužívali ani inverzné prvky, teda to platí v ľubovoľnom okruhu - tento pojem budeme definovať až v druhom semestri ale vlastne sa dá povedať, že to je podobné ako pole, iba niektoré podmienky vynecháme.
Viaceré takéto rovnosti na ktoré ste zvyknutí z reálnych čísel platia pre ľubovoľné pole/okruh.

[Martin Sleziak]

Aj tento príklad sa objavil na písomke, s nejakými drobnými modifikáciami. Skúsime sa ešte trochu zastaviť pri riešení, aby bolo jasnejšie čo som zhruba čakal, keď som do zadania napísal že to máte dokazovať z definície poľa.

Zadanie

Skupina A:

Dokážte priamo z definície poľa: Ak $(F,+,\cdot)$ je pole a $x,y\in F$, tak
$$x^2=y^2 \qquad \Rightarrow \qquad (x=y) \lor (x=-y).$$

Skupina B:

Dokážte priamo z definície poľa: Ak $(F,+,\cdot)$ je pole a $x\in F$, tak
$$x^2=1 \qquad \Rightarrow \qquad (x=1) \lor (x=-1).$$

Riešenie

Je jasné, že druhá skupina je len špeciálny prípad pre $y=1$. V oboch skupinách sa hodí použiť, že v poli platí $$a\cdot b=0 \qquad\Rightarrow\qquad (a=0) \lor (b=0).\tag{1}$$

Tak ako som sformuloval zadanie, aj toto by bolo treba zdôvodniť z definície poľa. Pripomeniem, že sme mali dve definície poľa, ktoré sa líšili skôr v maličkostiach. (Druhá bola do značnej miery rozpísaním prvej na jednotlivé vlastnosti grúp - s tým, že som upozornil na pár drobných rozdielov.)

Ak využijeme to, že $(F\setminus\{0\},\cdot)$ je komutatívna grupa, tak tu vlastne máme povedané aj to, že
$$a\ne 0 \land b\ne 0 \qquad\Rightarrow\qquad a\cdot b\ne 0.$$
To je (až na obmenu) presne implikácia ktorú chceme dokázať.

Ak vychádzate z "dlhšej" definície poľa, tak môžete urobiť toto: Ak platí $$ab=0,$$ tak buď platí $a=0$ (a implikácia platí) alebo existuje inverzný prvok k $a$. Ak nim prenásobíme obe strany, tak dostaneme
\begin{align*}
a^{-1}ab&=a^{-1}0\\
b&=0
\end{align*}
(Keby sme chceli byť veľmi poriadni, tak by sme ešte mali zdôvodniť, že $a\cdot0=0$.)

Či už jedným alebo druhým spôsobom, vieme zdôvodniť $(1)$.

*******************

Ak sme si uvedomili túto vlastnosť, tak už si stačí uvedomiť, že z $x^2=y^2$ dostaneme $x^2-y^2=0$, čiže
$$(x-y)(x+y)=0$$
čo znamená, že $x-y=0$ alebo $x+y=0$. Dostávame teda
$$(x=y) \lor (x=-y).$$

Ešte sme tu využili to, že $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Túto vlastnosť však tiež vieme zdôvodniť z definície, využívame len distributívnosť:
$$(x-y)(x+y)=x(x+y)-y(x+y)=x^2+xy-xy-y^2=x^2-y^2.$$
(Opäť, ak by sme chceli byť veľmi poriadni, tak sme tu využili aj rovnosť $-(ab)=(-a)b$, čiže v princípe by sme mali zdôvodniť aj tú.)

Časté chyby

Niektorí ste dokazovali opačnú implikáciu, t.j.: Ak $x=y$ alebo $x=-y$, tak $x^2=y^2$.
Toto je výrazne ľahšia úloha.

Niektoré riešenia pôsobili tak, ako keby ste robili s reálnymi číslami - úlohou bolo dokázať tvrdenie pre ľubovoľné pole.