Jedna vec, ktorá ma trápila v súvislosti s vecami z minulého seminára bola takáto.
Definovali sme pojem, kedy je podmnožina $W\subseteq\sigma(a)$ nearly open.
Nebudem tu opakovať všetky definície, dajú sa nájsť v staršom poste a v článkoch k tejto téme.
Pripomeniem len, že tam vystupovala množina $W_M$ (pre konečnú množinu $M$). Táto množina bola definovaná tak, že sme sa pozerali na možné súradnice na indexoch z $M$ také, že ak na ostatných súradniciach použijeme hodnoty z $a$, tak výsledný bod patrí do $W$.
Je jasné, že takto definovaná množina závisí od voľby bodu $a$; budem teda teraz používať označenie $W_M(a)$.
Ten istý S-komponent môže byť definovaný aj iným bodom; ak sa $a$ a $b$ líšia iba na konečne veľa súradniciach (t.j. $a=^*b$), tak evidentne máme $\sigma(a)=\sigma(b)$. A je dosť ľahké nájsť príklady, kedy $W_M(a)\ne W_M(b)$.
Množinu sme nazvali nearly open ak je $W_M(a)$ otvorená pre všetky konečné množiny $M$.
(Na množinu $W_M(a)$ sa pozeráme v priestore $\mathbb R^{|M|}$ s obvyklou Euklidovskou metrikou resp. súčinovou topológiou. Aby som mal jednoduchšie označenie, budem vždy označovať počet prvkov tejto množiny $|M|=m$ a písať priamo $\mathbb R^m$.)
Je teda prirodzené sa pýtať, či ak zmeníme bázový bod, dostaneme tie isté nearly open množiny.
Otázka: Nech platí $\sigma(a)=\sigma(b)$. Dostaneme tie isté nearly open množiny bez ohľadu na to, ktorý z týchto dvoch bázových bodov uvažujeme v definícii?
Inak povedané sú ekvivalentné podmienky: "pre každú konečnú množinu $M$ je množina $W_M(a)$ otvorená" a "pre každú konečnú množinu $M$ je množina $W_M(b)$ otvorená?
Pozitívna odpoveď na túto otázku nás vlastne oprávňuje povedať veci ako "$W$ is nearly open in $\sigma_i$" bez toho, by sme museli špecifikovať ktorého reprezentanta sme vybrali, t.j. bez toho aby sme si zvolili bod $a$ taký, že $\sigma_i=\sigma(a)$.
Pojem nearly open nezávisí od výberu reprezentanta
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
-
Martin Sleziak
- Posts: 5518
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Pojem nearly open nezávisí od výberu reprezentanta
Dúfam, že som sa nepomýlil, mne sa zdá že by sa malo dať ukázať že to od voľby reprezentanta nezávisí. (Samozrejme, ak tam mám niekde chybu budem rád ak ma niekto opraví - a bude fajn ak buď opravíme dôkaz alebo nájdeme kontrapríklad.)
Predpokladajme, že $W_M(a)$ je otvorená pre všetky konečné množiny $M$. A pokúsme sa to dokázať aj pre $W_M(b)$.
Dôkaz. Označme $R=\{t; a_t \ne b_t\}$ množinu tých súradníc, na ktorých majú $a_t$ a $b_t$ rozdielne hodnoty. (Táto množina je konečná.)
Najprv si všimnime, že ak $R\subseteq M$, tak
$$W_M(a)=W_M(b).$$
("Dopĺňame" súradnice iba mimo množiny $M$, tam sa $a$ a $b$ zhodujú.)
Takže v tomto prípade nie je problém, z otvorenosti $W_M(a)$ okamžite máme aj otvorenosť $W_M(b)$.
Ak teraz máme $R\nsubseteq M$, tak položme $M'=M\cup R$.
Ak sa pozeráme na množinu $M'$, tak $M'\supseteq R$, čo je prípad ktorý sme riešili a teda už vieme, že množina
$$W_{M'}(b)=W_{M'}(a)$$
je otvorená (v priestore $\mathbb R^{m'}$.)
Zoberme si ľubovoľné $x\in W_M(b)$.
Priamo z definície dostaneme, že bod $x'$ ktorý dostaneme tak, že na súradniciach z $M$ má rovnaké hodnoty ako $x$ a inde ho doplníme hodnotami z $b$ patrí do $W_{M'}(b)$. (T.j. bod $x'$ vyzerá tak, že $x'|_M=x|_M$ a $x'|_{M'\setminus M}=b|_{M'\setminus M}$.)
Toto by malo byť vidno z toho, že ak príslušnými súradnicami $b$-čka dopĺňame $x$ alebo $x'$, tak dostaneme presne to isté (v označení z článku $b^x_M=b^{x'}_{M'}$.) A pýtať sa či nejaký bod patrí do $W_M(b)$ resp. $W_M'(b)$ je presne to isté, ako pýtať sa či tento "doplnený" bod patrí do $W$.
Z otvorenosti $W_{M'}(b)$ vieme, že existuje nejaké okolie $U'$ bodu $x'$ také, že $x'\in U'\subseteq W_{M'}(b)$. Pokojne môžeme zobrať priamo bázové okolie, čiže súčin nejakých otvorených intervalov. (Pripomeniem, že pracujeme v konečnorozmernom priestore $\mathbb R^{m'}$.)
Toto bázové okolie nám prirodzeným spôsobom dá nejaké otvorené okolie $U$ bodu $x$, ktoré celé leží v $W_M(b)$. (Vlastne $U$ z $U'$ dostaneme jednoducho tak, že "zahodíme" súradnice $M'\setminus M$; dostaneme takto množinu z $\mathbb R^m$ ktorá je opäť súčinom otvorených intervalov.)
Aby sme videli, že takéto okolie skutočne celé leží vo $W_M(b)$, stačí si len uvedomiť že body z $W_{M'}(b)$ a $W_M(b)$ sa líšia iba tým, že na súradniciach z $M'\setminus M$ sme doplnili hodnoty určené bodom $b$.
Ukázali sme, že každý bod patriaci do $W_M(b)$ má nejaké otvorené okolie v $\mathbb R^m$ ktoré je celé vnútri množiny $W_M(b)$, teda množina $W_M(b)$ je otvorená. $\square$
Predpokladajme, že $W_M(a)$ je otvorená pre všetky konečné množiny $M$. A pokúsme sa to dokázať aj pre $W_M(b)$.
Dôkaz. Označme $R=\{t; a_t \ne b_t\}$ množinu tých súradníc, na ktorých majú $a_t$ a $b_t$ rozdielne hodnoty. (Táto množina je konečná.)
Najprv si všimnime, že ak $R\subseteq M$, tak
$$W_M(a)=W_M(b).$$
("Dopĺňame" súradnice iba mimo množiny $M$, tam sa $a$ a $b$ zhodujú.)
Takže v tomto prípade nie je problém, z otvorenosti $W_M(a)$ okamžite máme aj otvorenosť $W_M(b)$.
Ak teraz máme $R\nsubseteq M$, tak položme $M'=M\cup R$.
Ak sa pozeráme na množinu $M'$, tak $M'\supseteq R$, čo je prípad ktorý sme riešili a teda už vieme, že množina
$$W_{M'}(b)=W_{M'}(a)$$
je otvorená (v priestore $\mathbb R^{m'}$.)
Zoberme si ľubovoľné $x\in W_M(b)$.
Priamo z definície dostaneme, že bod $x'$ ktorý dostaneme tak, že na súradniciach z $M$ má rovnaké hodnoty ako $x$ a inde ho doplníme hodnotami z $b$ patrí do $W_{M'}(b)$. (T.j. bod $x'$ vyzerá tak, že $x'|_M=x|_M$ a $x'|_{M'\setminus M}=b|_{M'\setminus M}$.)
Toto by malo byť vidno z toho, že ak príslušnými súradnicami $b$-čka dopĺňame $x$ alebo $x'$, tak dostaneme presne to isté (v označení z článku $b^x_M=b^{x'}_{M'}$.) A pýtať sa či nejaký bod patrí do $W_M(b)$ resp. $W_M'(b)$ je presne to isté, ako pýtať sa či tento "doplnený" bod patrí do $W$.
Z otvorenosti $W_{M'}(b)$ vieme, že existuje nejaké okolie $U'$ bodu $x'$ také, že $x'\in U'\subseteq W_{M'}(b)$. Pokojne môžeme zobrať priamo bázové okolie, čiže súčin nejakých otvorených intervalov. (Pripomeniem, že pracujeme v konečnorozmernom priestore $\mathbb R^{m'}$.)
Toto bázové okolie nám prirodzeným spôsobom dá nejaké otvorené okolie $U$ bodu $x$, ktoré celé leží v $W_M(b)$. (Vlastne $U$ z $U'$ dostaneme jednoducho tak, že "zahodíme" súradnice $M'\setminus M$; dostaneme takto množinu z $\mathbb R^m$ ktorá je opäť súčinom otvorených intervalov.)
Aby sme videli, že takéto okolie skutočne celé leží vo $W_M(b)$, stačí si len uvedomiť že body z $W_{M'}(b)$ a $W_M(b)$ sa líšia iba tým, že na súradniciach z $M'\setminus M$ sme doplnili hodnoty určené bodom $b$.
Ukázali sme, že každý bod patriaci do $W_M(b)$ má nejaké otvorené okolie v $\mathbb R^m$ ktoré je celé vnútri množiny $W_M(b)$, teda množina $W_M(b)$ je otvorená. $\square$