Riadkovo ekvivalentné matice

[Martin Sleziak]

Toto bol pravdepodobne asi najjednoduchší príklad z písomky.

Využijem tento post aj na to, aby som pridal linky na ostatné príklady:

viewtopic.php?t=1378
viewtopic.php?t=1383
TODO bonusovú úlohu ešte na fórum doplním - aspoň na prípady kde sa dá nájsť kontrapríklad sa dá pozrieť tu: viewtopic.php?t=1375

Zadanie

Zistite, či zadané matice nad poľom $\mathbb Z_7$ sú riadkovo ekvivalentné.

Skupina A:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
3 & 3 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$

Skupina B:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 6 \\
2 & 3 & 4 & 2 \\
3 & 1 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 0 \\
3 & 2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$

V oboch prípadoch je správna odpoveď, že matice sú riadkové ekvivalentné.
Štandardný (a asi najjednoduchší) postup je upraviť obe matice na redukovaný stupňovitý tvar. Riadkovo ekvivalentné sú práve vtedy keď redukovaný stupňovitý tvar vyjde rovnaký.

V skupine A je redukovaný stupňovitý tvar $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$.
V skupine B je redukovaný stupňovitý tvar $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$.

Pripomeniem, že ak ste sa už dostali k takémuto tvaru, tak viete urobiť (aspoň polovičnú) skúšku správnosti: viewtopic.php?t=531

Pridám sem aj príklad ako sa to dalo počítať - aj keď je veľa možností ako postupovať, určite je lepšie si vyskúšať to zrátať samostatne:

Skupina A:

Spoiler:

prvá matica:
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
1 & 2 & 4 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 6 & 6 & 5 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
Iný postup:
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 4 \\
0 & 3 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 5 & 4 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Druhá matica:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
3 & 3 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
1 & 1 & 3 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 3 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
Iný postup:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
3 & 3 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 0 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 3 & 6 \\
0 & 4 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 3 & 6 \\
0 & 4 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Skupina B:

Spoiler:

Prvá matica:
$\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 6 \\
2 & 3 & 4 & 2 \\
3 & 1 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 6 \\
1 & 0 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
1 & 3 & 3 & 6 \\
3 & 1 & 6 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Druhá matica:
$
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 6 & 0 \\
3 & 2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 4 \\
1 & 4 & 6 & 0 \\
3 & 2 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 3 & 2 & 3 \\
0 & 6 & 4 & 6 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Chyby ktoré sa vyskytli

Niektorý z vás dopupravovali maticu iba na stupňovitý tvar a keď ste dostali rôzne tvary, tak ste prehlásili že matice nie sú riadkovo ekvivalentné.
To nestačí. Aby sme naozaj mali ekvivalenciu, potrebujeme naozaj redukovaný stupňovitý tvar.
Napríklad tieto matice sú obe v stupňovitom tvare, sú rôzne a pritom sú riadkovo ekvivalentné.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$


Našli sa aj ľudia ktorí zobrali
$$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 3 & 5 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 5 & 4 & 1 & 4 & 6 & 2 \\
2 & 4 & 1 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \\
\end{array}\right)$$
a upravovali.
Toto bol postup, ktorým sme počítali niečo celkom iné. (Konkrétne maticu zobrazenia, ak sme pre lineárne zobrazenie mali zadané kam sa zobrazia niektoré vektory.)

[Martin Sleziak]

Takáto úloha bola na písomke aj tento semester.
Niektoré chyby, ktoré sa vyskytli, boli do istej miery podobné ako tie, čo sú spomenuté vyššie.
* Z toho, že vyjde rovnaká hodnosť ešte nevyplýva, že matice sú riadkovo ekvivalentné.
* S istotou viem odpovedať na otázku či sú matice riadkovo ekvivalentné, ak som ich upravil na redukovaný stupňovitý tvar. (Ak je rovnaký tak sú, ak som dostal rôzne tvary, tak nie sú.)
* Ak som sa pri úpravách zastavil skôr a ešte nemám redukovaný tvar, tak sa mi možno môže pošťastiť, že som obe matice upravil na ten istý tvar (aj keď nie je redukovaný) - vtedy viem povedať, že sú riadkovo ekvivalentné. Ale ak by zadané matice neboli riadkovo ekvivalentné, tak to sa mi podarí zistiť iba vtedy, ak ich naozaj upravím až na redukovaný tvar.