Prednášky LS 2018/19

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak sa chcete pozrieť, čo som stihol prebrať po minulé roky:
viewtopic.php?t=1028
viewtopic.php?t=842
viewtopic.php?t=595
viewtopic.php?t=416

[Martin Sleziak]

1. prednáška (21.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základné vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (28.2.):
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$. (Pri dôkaze tejto vety sme si ukázali ako pomocné tvrdenie fakt, že zo $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=+\infty$, $0<x_i<1$, vyplýva $\prod\limits_{i=1}^\infty (1-x_n)=0$.)
Ako dôsledok tejto vety sme dostali, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má nulovú hustotu.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (7.3)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.
Ukázali sme, že množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient.
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?t=856
Potom sme ešte ukázali podobný výsledok pre množinu funkčných hodnôt funkcie $\sigma$.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (14.3)
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou. Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre integrál/deriváciu nájdete tu.

(Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (21.3.)
Štatistická konvergencia. Definícia. Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov. Abel-Pringsheim-Olivierova veta a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu.
Ukázali sme aj to, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť.
Na stránku predmetu som nahral novšiu verziu textu, kde je už aj dôkaz tejto vety. (V staršej verzii bola táto veta bez dôkazu, len s odkazom na literatúru.)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (28.3.)
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ a $x^4+y^2=z^4$ v prirodzených číslach.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (4.4.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu. (Sú to vlastne veci, ktoré ste už predtým videli na Algebre 2.)
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. Zadefinovali sme $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$, t.j. gaussovské a eisensteinovské celé čísla. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Na konci som aspoň narýchlo ukázal, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice. (Tento dôkaz v poznámkach k prednáške nie je. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A určite aj na mnohých iných miestach.)

EDIT: Na stránku predmetu som nahral novšiu verziu textu, kde je už aj dôkaz o pytagorovských trojiciach pomocou $\mathbb Z\left[i\right]$. (V staršej verzii bola táto veta bez dôkazu, len s odkazom na literatúru.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (11.4.)

Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$.

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)
(Obe knihy spomenuté tu na fóre môžem v prípade záujmu poskytnúť.)

[Martin Sleziak]

18.4 bolo voľno

9. prednáška (25.4.)
Dokončili sme ešte dôkaz z minula o riešeniach rovnice $x^3+y^3=z^3$.
Schnireľmannova hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.
Súčty dvoch štvorcov. Ukázali sme si Fibonacciho identitu. Popísali sme, ktoré prvočísla sa dajú získať ako súčet dvoch štvorcov.