10. prednáška (26.11.):
Wilsonova veta. Ukázali sme Wilsonovu vetu - jeden dôkaz bol založený na Lagrangeovej vete, druhý využíval multiplikatívnu grupu poľa $\mathbb Z_p$. (Nerobil som kombinatorický dôkaz.)
Preskočil som dôkaz, že $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. (A teda ho nebudem ani skúšať.)
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Dirichletov súčin, Möbiova inverzia.
Prednášky ZS 2019/20
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5524
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2019/20
11. prednáška (3.12.):
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $8k+7$. Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $8k+7$. Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
-
Martin Sleziak
- Posts: 5524
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2019/20
12. prednáška (10.12.):
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.
Legendrov symbol. Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5524
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2019/20
13. prednáška (17.12.):
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Na konci som sa vrátil k vete, že pre prvočíslo $p=4k+3$ je $q=2p+1$ prvočíslom práve vtedy, keď $q\mid M_p=2^p-1$. Súvisí to s Sophie Germain primes.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.
Na konci som sa vrátil k vete, že pre prvočíslo $p=4k+3$ je $q=2p+1$ prvočíslom práve vtedy, keď $q\mid M_p=2^p-1$. Súvisí to s Sophie Germain primes.